-0,000 282 005 914 49 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 49(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 49(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 49| = 0,000 282 005 914 49


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 49.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 49 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 98;
  • 2) 0,000 564 011 828 98 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 96;
  • 3) 0,001 128 023 657 96 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 92;
  • 4) 0,002 256 047 315 92 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 84;
  • 5) 0,004 512 094 631 84 × 2 = 0 + 0,009 024 189 263 68;
  • 6) 0,009 024 189 263 68 × 2 = 0 + 0,018 048 378 527 36;
  • 7) 0,018 048 378 527 36 × 2 = 0 + 0,036 096 757 054 72;
  • 8) 0,036 096 757 054 72 × 2 = 0 + 0,072 193 514 109 44;
  • 9) 0,072 193 514 109 44 × 2 = 0 + 0,144 387 028 218 88;
  • 10) 0,144 387 028 218 88 × 2 = 0 + 0,288 774 056 437 76;
  • 11) 0,288 774 056 437 76 × 2 = 0 + 0,577 548 112 875 52;
  • 12) 0,577 548 112 875 52 × 2 = 1 + 0,155 096 225 751 04;
  • 13) 0,155 096 225 751 04 × 2 = 0 + 0,310 192 451 502 08;
  • 14) 0,310 192 451 502 08 × 2 = 0 + 0,620 384 903 004 16;
  • 15) 0,620 384 903 004 16 × 2 = 1 + 0,240 769 806 008 32;
  • 16) 0,240 769 806 008 32 × 2 = 0 + 0,481 539 612 016 64;
  • 17) 0,481 539 612 016 64 × 2 = 0 + 0,963 079 224 033 28;
  • 18) 0,963 079 224 033 28 × 2 = 1 + 0,926 158 448 066 56;
  • 19) 0,926 158 448 066 56 × 2 = 1 + 0,852 316 896 133 12;
  • 20) 0,852 316 896 133 12 × 2 = 1 + 0,704 633 792 266 24;
  • 21) 0,704 633 792 266 24 × 2 = 1 + 0,409 267 584 532 48;
  • 22) 0,409 267 584 532 48 × 2 = 0 + 0,818 535 169 064 96;
  • 23) 0,818 535 169 064 96 × 2 = 1 + 0,637 070 338 129 92;
  • 24) 0,637 070 338 129 92 × 2 = 1 + 0,274 140 676 259 84;
  • 25) 0,274 140 676 259 84 × 2 = 0 + 0,548 281 352 519 68;
  • 26) 0,548 281 352 519 68 × 2 = 1 + 0,096 562 705 039 36;
  • 27) 0,096 562 705 039 36 × 2 = 0 + 0,193 125 410 078 72;
  • 28) 0,193 125 410 078 72 × 2 = 0 + 0,386 250 820 157 44;
  • 29) 0,386 250 820 157 44 × 2 = 0 + 0,772 501 640 314 88;
  • 30) 0,772 501 640 314 88 × 2 = 1 + 0,545 003 280 629 76;
  • 31) 0,545 003 280 629 76 × 2 = 1 + 0,090 006 561 259 52;
  • 32) 0,090 006 561 259 52 × 2 = 0 + 0,180 013 122 519 04;
  • 33) 0,180 013 122 519 04 × 2 = 0 + 0,360 026 245 038 08;
  • 34) 0,360 026 245 038 08 × 2 = 0 + 0,720 052 490 076 16;
  • 35) 0,720 052 490 076 16 × 2 = 1 + 0,440 104 980 152 32;
  • 36) 0,440 104 980 152 32 × 2 = 0 + 0,880 209 960 304 64;
  • 37) 0,880 209 960 304 64 × 2 = 1 + 0,760 419 920 609 28;
  • 38) 0,760 419 920 609 28 × 2 = 1 + 0,520 839 841 218 56;
  • 39) 0,520 839 841 218 56 × 2 = 1 + 0,041 679 682 437 12;
  • 40) 0,041 679 682 437 12 × 2 = 0 + 0,083 359 364 874 24;
  • 41) 0,083 359 364 874 24 × 2 = 0 + 0,166 718 729 748 48;
  • 42) 0,166 718 729 748 48 × 2 = 0 + 0,333 437 459 496 96;
  • 43) 0,333 437 459 496 96 × 2 = 0 + 0,666 874 918 993 92;
  • 44) 0,666 874 918 993 92 × 2 = 1 + 0,333 749 837 987 84;
  • 45) 0,333 749 837 987 84 × 2 = 0 + 0,667 499 675 975 68;
  • 46) 0,667 499 675 975 68 × 2 = 1 + 0,334 999 351 951 36;
  • 47) 0,334 999 351 951 36 × 2 = 0 + 0,669 998 703 902 72;
  • 48) 0,669 998 703 902 72 × 2 = 1 + 0,339 997 407 805 44;
  • 49) 0,339 997 407 805 44 × 2 = 0 + 0,679 994 815 610 88;
  • 50) 0,679 994 815 610 88 × 2 = 1 + 0,359 989 631 221 76;
  • 51) 0,359 989 631 221 76 × 2 = 0 + 0,719 979 262 443 52;
  • 52) 0,719 979 262 443 52 × 2 = 1 + 0,439 958 524 887 04;
  • 53) 0,439 958 524 887 04 × 2 = 0 + 0,879 917 049 774 08;
  • 54) 0,879 917 049 774 08 × 2 = 1 + 0,759 834 099 548 16;
  • 55) 0,759 834 099 548 16 × 2 = 1 + 0,519 668 199 096 32;
  • 56) 0,519 668 199 096 32 × 2 = 1 + 0,039 336 398 192 64;
  • 57) 0,039 336 398 192 64 × 2 = 0 + 0,078 672 796 385 28;
  • 58) 0,078 672 796 385 28 × 2 = 0 + 0,157 345 592 770 56;
  • 59) 0,157 345 592 770 56 × 2 = 0 + 0,314 691 185 541 12;
  • 60) 0,314 691 185 541 12 × 2 = 0 + 0,629 382 371 082 24;
  • 61) 0,629 382 371 082 24 × 2 = 1 + 0,258 764 742 164 48;
  • 62) 0,258 764 742 164 48 × 2 = 0 + 0,517 529 484 328 96;
  • 63) 0,517 529 484 328 96 × 2 = 1 + 0,035 058 968 657 92;
  • 64) 0,035 058 968 657 92 × 2 = 0 + 0,070 117 937 315 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 49(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 49(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 49(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 49 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0101 0101 0111 0000 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 64 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100