-0,000 282 005 914 493 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 493(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 493(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 493| = 0,000 282 005 914 493


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 493.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 493 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 986;
  • 2) 0,000 564 011 828 986 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 972;
  • 3) 0,001 128 023 657 972 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 944;
  • 4) 0,002 256 047 315 944 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 888;
  • 5) 0,004 512 094 631 888 × 2 = 0 + 0,009 024 189 263 776;
  • 6) 0,009 024 189 263 776 × 2 = 0 + 0,018 048 378 527 552;
  • 7) 0,018 048 378 527 552 × 2 = 0 + 0,036 096 757 055 104;
  • 8) 0,036 096 757 055 104 × 2 = 0 + 0,072 193 514 110 208;
  • 9) 0,072 193 514 110 208 × 2 = 0 + 0,144 387 028 220 416;
  • 10) 0,144 387 028 220 416 × 2 = 0 + 0,288 774 056 440 832;
  • 11) 0,288 774 056 440 832 × 2 = 0 + 0,577 548 112 881 664;
  • 12) 0,577 548 112 881 664 × 2 = 1 + 0,155 096 225 763 328;
  • 13) 0,155 096 225 763 328 × 2 = 0 + 0,310 192 451 526 656;
  • 14) 0,310 192 451 526 656 × 2 = 0 + 0,620 384 903 053 312;
  • 15) 0,620 384 903 053 312 × 2 = 1 + 0,240 769 806 106 624;
  • 16) 0,240 769 806 106 624 × 2 = 0 + 0,481 539 612 213 248;
  • 17) 0,481 539 612 213 248 × 2 = 0 + 0,963 079 224 426 496;
  • 18) 0,963 079 224 426 496 × 2 = 1 + 0,926 158 448 852 992;
  • 19) 0,926 158 448 852 992 × 2 = 1 + 0,852 316 897 705 984;
  • 20) 0,852 316 897 705 984 × 2 = 1 + 0,704 633 795 411 968;
  • 21) 0,704 633 795 411 968 × 2 = 1 + 0,409 267 590 823 936;
  • 22) 0,409 267 590 823 936 × 2 = 0 + 0,818 535 181 647 872;
  • 23) 0,818 535 181 647 872 × 2 = 1 + 0,637 070 363 295 744;
  • 24) 0,637 070 363 295 744 × 2 = 1 + 0,274 140 726 591 488;
  • 25) 0,274 140 726 591 488 × 2 = 0 + 0,548 281 453 182 976;
  • 26) 0,548 281 453 182 976 × 2 = 1 + 0,096 562 906 365 952;
  • 27) 0,096 562 906 365 952 × 2 = 0 + 0,193 125 812 731 904;
  • 28) 0,193 125 812 731 904 × 2 = 0 + 0,386 251 625 463 808;
  • 29) 0,386 251 625 463 808 × 2 = 0 + 0,772 503 250 927 616;
  • 30) 0,772 503 250 927 616 × 2 = 1 + 0,545 006 501 855 232;
  • 31) 0,545 006 501 855 232 × 2 = 1 + 0,090 013 003 710 464;
  • 32) 0,090 013 003 710 464 × 2 = 0 + 0,180 026 007 420 928;
  • 33) 0,180 026 007 420 928 × 2 = 0 + 0,360 052 014 841 856;
  • 34) 0,360 052 014 841 856 × 2 = 0 + 0,720 104 029 683 712;
  • 35) 0,720 104 029 683 712 × 2 = 1 + 0,440 208 059 367 424;
  • 36) 0,440 208 059 367 424 × 2 = 0 + 0,880 416 118 734 848;
  • 37) 0,880 416 118 734 848 × 2 = 1 + 0,760 832 237 469 696;
  • 38) 0,760 832 237 469 696 × 2 = 1 + 0,521 664 474 939 392;
  • 39) 0,521 664 474 939 392 × 2 = 1 + 0,043 328 949 878 784;
  • 40) 0,043 328 949 878 784 × 2 = 0 + 0,086 657 899 757 568;
  • 41) 0,086 657 899 757 568 × 2 = 0 + 0,173 315 799 515 136;
  • 42) 0,173 315 799 515 136 × 2 = 0 + 0,346 631 599 030 272;
  • 43) 0,346 631 599 030 272 × 2 = 0 + 0,693 263 198 060 544;
  • 44) 0,693 263 198 060 544 × 2 = 1 + 0,386 526 396 121 088;
  • 45) 0,386 526 396 121 088 × 2 = 0 + 0,773 052 792 242 176;
  • 46) 0,773 052 792 242 176 × 2 = 1 + 0,546 105 584 484 352;
  • 47) 0,546 105 584 484 352 × 2 = 1 + 0,092 211 168 968 704;
  • 48) 0,092 211 168 968 704 × 2 = 0 + 0,184 422 337 937 408;
  • 49) 0,184 422 337 937 408 × 2 = 0 + 0,368 844 675 874 816;
  • 50) 0,368 844 675 874 816 × 2 = 0 + 0,737 689 351 749 632;
  • 51) 0,737 689 351 749 632 × 2 = 1 + 0,475 378 703 499 264;
  • 52) 0,475 378 703 499 264 × 2 = 0 + 0,950 757 406 998 528;
  • 53) 0,950 757 406 998 528 × 2 = 1 + 0,901 514 813 997 056;
  • 54) 0,901 514 813 997 056 × 2 = 1 + 0,803 029 627 994 112;
  • 55) 0,803 029 627 994 112 × 2 = 1 + 0,606 059 255 988 224;
  • 56) 0,606 059 255 988 224 × 2 = 1 + 0,212 118 511 976 448;
  • 57) 0,212 118 511 976 448 × 2 = 0 + 0,424 237 023 952 896;
  • 58) 0,424 237 023 952 896 × 2 = 0 + 0,848 474 047 905 792;
  • 59) 0,848 474 047 905 792 × 2 = 1 + 0,696 948 095 811 584;
  • 60) 0,696 948 095 811 584 × 2 = 1 + 0,393 896 191 623 168;
  • 61) 0,393 896 191 623 168 × 2 = 0 + 0,787 792 383 246 336;
  • 62) 0,787 792 383 246 336 × 2 = 1 + 0,575 584 766 492 672;
  • 63) 0,575 584 766 492 672 × 2 = 1 + 0,151 169 532 985 344;
  • 64) 0,151 169 532 985 344 × 2 = 0 + 0,302 339 065 970 688;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 493(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 493(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 493(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 493 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 0110 0010 1111 0011 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 51 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100