-0,000 282 005 914 524 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 524(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 524(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 524| = 0,000 282 005 914 524


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 524.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 524 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 048;
  • 2) 0,000 564 011 829 048 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 096;
  • 3) 0,001 128 023 658 096 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 192;
  • 4) 0,002 256 047 316 192 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 384;
  • 5) 0,004 512 094 632 384 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 768;
  • 6) 0,009 024 189 264 768 × 2 = 0 + 0,018 048 378 529 536;
  • 7) 0,018 048 378 529 536 × 2 = 0 + 0,036 096 757 059 072;
  • 8) 0,036 096 757 059 072 × 2 = 0 + 0,072 193 514 118 144;
  • 9) 0,072 193 514 118 144 × 2 = 0 + 0,144 387 028 236 288;
  • 10) 0,144 387 028 236 288 × 2 = 0 + 0,288 774 056 472 576;
  • 11) 0,288 774 056 472 576 × 2 = 0 + 0,577 548 112 945 152;
  • 12) 0,577 548 112 945 152 × 2 = 1 + 0,155 096 225 890 304;
  • 13) 0,155 096 225 890 304 × 2 = 0 + 0,310 192 451 780 608;
  • 14) 0,310 192 451 780 608 × 2 = 0 + 0,620 384 903 561 216;
  • 15) 0,620 384 903 561 216 × 2 = 1 + 0,240 769 807 122 432;
  • 16) 0,240 769 807 122 432 × 2 = 0 + 0,481 539 614 244 864;
  • 17) 0,481 539 614 244 864 × 2 = 0 + 0,963 079 228 489 728;
  • 18) 0,963 079 228 489 728 × 2 = 1 + 0,926 158 456 979 456;
  • 19) 0,926 158 456 979 456 × 2 = 1 + 0,852 316 913 958 912;
  • 20) 0,852 316 913 958 912 × 2 = 1 + 0,704 633 827 917 824;
  • 21) 0,704 633 827 917 824 × 2 = 1 + 0,409 267 655 835 648;
  • 22) 0,409 267 655 835 648 × 2 = 0 + 0,818 535 311 671 296;
  • 23) 0,818 535 311 671 296 × 2 = 1 + 0,637 070 623 342 592;
  • 24) 0,637 070 623 342 592 × 2 = 1 + 0,274 141 246 685 184;
  • 25) 0,274 141 246 685 184 × 2 = 0 + 0,548 282 493 370 368;
  • 26) 0,548 282 493 370 368 × 2 = 1 + 0,096 564 986 740 736;
  • 27) 0,096 564 986 740 736 × 2 = 0 + 0,193 129 973 481 472;
  • 28) 0,193 129 973 481 472 × 2 = 0 + 0,386 259 946 962 944;
  • 29) 0,386 259 946 962 944 × 2 = 0 + 0,772 519 893 925 888;
  • 30) 0,772 519 893 925 888 × 2 = 1 + 0,545 039 787 851 776;
  • 31) 0,545 039 787 851 776 × 2 = 1 + 0,090 079 575 703 552;
  • 32) 0,090 079 575 703 552 × 2 = 0 + 0,180 159 151 407 104;
  • 33) 0,180 159 151 407 104 × 2 = 0 + 0,360 318 302 814 208;
  • 34) 0,360 318 302 814 208 × 2 = 0 + 0,720 636 605 628 416;
  • 35) 0,720 636 605 628 416 × 2 = 1 + 0,441 273 211 256 832;
  • 36) 0,441 273 211 256 832 × 2 = 0 + 0,882 546 422 513 664;
  • 37) 0,882 546 422 513 664 × 2 = 1 + 0,765 092 845 027 328;
  • 38) 0,765 092 845 027 328 × 2 = 1 + 0,530 185 690 054 656;
  • 39) 0,530 185 690 054 656 × 2 = 1 + 0,060 371 380 109 312;
  • 40) 0,060 371 380 109 312 × 2 = 0 + 0,120 742 760 218 624;
  • 41) 0,120 742 760 218 624 × 2 = 0 + 0,241 485 520 437 248;
  • 42) 0,241 485 520 437 248 × 2 = 0 + 0,482 971 040 874 496;
  • 43) 0,482 971 040 874 496 × 2 = 0 + 0,965 942 081 748 992;
  • 44) 0,965 942 081 748 992 × 2 = 1 + 0,931 884 163 497 984;
  • 45) 0,931 884 163 497 984 × 2 = 1 + 0,863 768 326 995 968;
  • 46) 0,863 768 326 995 968 × 2 = 1 + 0,727 536 653 991 936;
  • 47) 0,727 536 653 991 936 × 2 = 1 + 0,455 073 307 983 872;
  • 48) 0,455 073 307 983 872 × 2 = 0 + 0,910 146 615 967 744;
  • 49) 0,910 146 615 967 744 × 2 = 1 + 0,820 293 231 935 488;
  • 50) 0,820 293 231 935 488 × 2 = 1 + 0,640 586 463 870 976;
  • 51) 0,640 586 463 870 976 × 2 = 1 + 0,281 172 927 741 952;
  • 52) 0,281 172 927 741 952 × 2 = 0 + 0,562 345 855 483 904;
  • 53) 0,562 345 855 483 904 × 2 = 1 + 0,124 691 710 967 808;
  • 54) 0,124 691 710 967 808 × 2 = 0 + 0,249 383 421 935 616;
  • 55) 0,249 383 421 935 616 × 2 = 0 + 0,498 766 843 871 232;
  • 56) 0,498 766 843 871 232 × 2 = 0 + 0,997 533 687 742 464;
  • 57) 0,997 533 687 742 464 × 2 = 1 + 0,995 067 375 484 928;
  • 58) 0,995 067 375 484 928 × 2 = 1 + 0,990 134 750 969 856;
  • 59) 0,990 134 750 969 856 × 2 = 1 + 0,980 269 501 939 712;
  • 60) 0,980 269 501 939 712 × 2 = 1 + 0,960 539 003 879 424;
  • 61) 0,960 539 003 879 424 × 2 = 1 + 0,921 078 007 758 848;
  • 62) 0,921 078 007 758 848 × 2 = 1 + 0,842 156 015 517 696;
  • 63) 0,842 156 015 517 696 × 2 = 1 + 0,684 312 031 035 392;
  • 64) 0,684 312 031 035 392 × 2 = 1 + 0,368 624 062 070 784;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 524(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 524(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 524(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 524 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1110 1110 1000 1111 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 444 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100