-0,000 282 005 914 525 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 525(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 525(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 525| = 0,000 282 005 914 525


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 525.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 525 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 05;
  • 2) 0,000 564 011 829 05 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 1;
  • 3) 0,001 128 023 658 1 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 2;
  • 4) 0,002 256 047 316 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 4;
  • 5) 0,004 512 094 632 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 8;
  • 6) 0,009 024 189 264 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 529 6;
  • 7) 0,018 048 378 529 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 059 2;
  • 8) 0,036 096 757 059 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 118 4;
  • 9) 0,072 193 514 118 4 × 2 = 0 + 0,144 387 028 236 8;
  • 10) 0,144 387 028 236 8 × 2 = 0 + 0,288 774 056 473 6;
  • 11) 0,288 774 056 473 6 × 2 = 0 + 0,577 548 112 947 2;
  • 12) 0,577 548 112 947 2 × 2 = 1 + 0,155 096 225 894 4;
  • 13) 0,155 096 225 894 4 × 2 = 0 + 0,310 192 451 788 8;
  • 14) 0,310 192 451 788 8 × 2 = 0 + 0,620 384 903 577 6;
  • 15) 0,620 384 903 577 6 × 2 = 1 + 0,240 769 807 155 2;
  • 16) 0,240 769 807 155 2 × 2 = 0 + 0,481 539 614 310 4;
  • 17) 0,481 539 614 310 4 × 2 = 0 + 0,963 079 228 620 8;
  • 18) 0,963 079 228 620 8 × 2 = 1 + 0,926 158 457 241 6;
  • 19) 0,926 158 457 241 6 × 2 = 1 + 0,852 316 914 483 2;
  • 20) 0,852 316 914 483 2 × 2 = 1 + 0,704 633 828 966 4;
  • 21) 0,704 633 828 966 4 × 2 = 1 + 0,409 267 657 932 8;
  • 22) 0,409 267 657 932 8 × 2 = 0 + 0,818 535 315 865 6;
  • 23) 0,818 535 315 865 6 × 2 = 1 + 0,637 070 631 731 2;
  • 24) 0,637 070 631 731 2 × 2 = 1 + 0,274 141 263 462 4;
  • 25) 0,274 141 263 462 4 × 2 = 0 + 0,548 282 526 924 8;
  • 26) 0,548 282 526 924 8 × 2 = 1 + 0,096 565 053 849 6;
  • 27) 0,096 565 053 849 6 × 2 = 0 + 0,193 130 107 699 2;
  • 28) 0,193 130 107 699 2 × 2 = 0 + 0,386 260 215 398 4;
  • 29) 0,386 260 215 398 4 × 2 = 0 + 0,772 520 430 796 8;
  • 30) 0,772 520 430 796 8 × 2 = 1 + 0,545 040 861 593 6;
  • 31) 0,545 040 861 593 6 × 2 = 1 + 0,090 081 723 187 2;
  • 32) 0,090 081 723 187 2 × 2 = 0 + 0,180 163 446 374 4;
  • 33) 0,180 163 446 374 4 × 2 = 0 + 0,360 326 892 748 8;
  • 34) 0,360 326 892 748 8 × 2 = 0 + 0,720 653 785 497 6;
  • 35) 0,720 653 785 497 6 × 2 = 1 + 0,441 307 570 995 2;
  • 36) 0,441 307 570 995 2 × 2 = 0 + 0,882 615 141 990 4;
  • 37) 0,882 615 141 990 4 × 2 = 1 + 0,765 230 283 980 8;
  • 38) 0,765 230 283 980 8 × 2 = 1 + 0,530 460 567 961 6;
  • 39) 0,530 460 567 961 6 × 2 = 1 + 0,060 921 135 923 2;
  • 40) 0,060 921 135 923 2 × 2 = 0 + 0,121 842 271 846 4;
  • 41) 0,121 842 271 846 4 × 2 = 0 + 0,243 684 543 692 8;
  • 42) 0,243 684 543 692 8 × 2 = 0 + 0,487 369 087 385 6;
  • 43) 0,487 369 087 385 6 × 2 = 0 + 0,974 738 174 771 2;
  • 44) 0,974 738 174 771 2 × 2 = 1 + 0,949 476 349 542 4;
  • 45) 0,949 476 349 542 4 × 2 = 1 + 0,898 952 699 084 8;
  • 46) 0,898 952 699 084 8 × 2 = 1 + 0,797 905 398 169 6;
  • 47) 0,797 905 398 169 6 × 2 = 1 + 0,595 810 796 339 2;
  • 48) 0,595 810 796 339 2 × 2 = 1 + 0,191 621 592 678 4;
  • 49) 0,191 621 592 678 4 × 2 = 0 + 0,383 243 185 356 8;
  • 50) 0,383 243 185 356 8 × 2 = 0 + 0,766 486 370 713 6;
  • 51) 0,766 486 370 713 6 × 2 = 1 + 0,532 972 741 427 2;
  • 52) 0,532 972 741 427 2 × 2 = 1 + 0,065 945 482 854 4;
  • 53) 0,065 945 482 854 4 × 2 = 0 + 0,131 890 965 708 8;
  • 54) 0,131 890 965 708 8 × 2 = 0 + 0,263 781 931 417 6;
  • 55) 0,263 781 931 417 6 × 2 = 0 + 0,527 563 862 835 2;
  • 56) 0,527 563 862 835 2 × 2 = 1 + 0,055 127 725 670 4;
  • 57) 0,055 127 725 670 4 × 2 = 0 + 0,110 255 451 340 8;
  • 58) 0,110 255 451 340 8 × 2 = 0 + 0,220 510 902 681 6;
  • 59) 0,220 510 902 681 6 × 2 = 0 + 0,441 021 805 363 2;
  • 60) 0,441 021 805 363 2 × 2 = 0 + 0,882 043 610 726 4;
  • 61) 0,882 043 610 726 4 × 2 = 1 + 0,764 087 221 452 8;
  • 62) 0,764 087 221 452 8 × 2 = 1 + 0,528 174 442 905 6;
  • 63) 0,528 174 442 905 6 × 2 = 1 + 0,056 348 885 811 2;
  • 64) 0,056 348 885 811 2 × 2 = 0 + 0,112 697 771 622 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 525(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 525(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 525(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 525 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1111 0011 0001 0000 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 506 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100