-0,000 282 005 914 528 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 528(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 528(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 528| = 0,000 282 005 914 528


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 528.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 528 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 056;
  • 2) 0,000 564 011 829 056 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 112;
  • 3) 0,001 128 023 658 112 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 224;
  • 4) 0,002 256 047 316 224 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 448;
  • 5) 0,004 512 094 632 448 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 896;
  • 6) 0,009 024 189 264 896 × 2 = 0 + 0,018 048 378 529 792;
  • 7) 0,018 048 378 529 792 × 2 = 0 + 0,036 096 757 059 584;
  • 8) 0,036 096 757 059 584 × 2 = 0 + 0,072 193 514 119 168;
  • 9) 0,072 193 514 119 168 × 2 = 0 + 0,144 387 028 238 336;
  • 10) 0,144 387 028 238 336 × 2 = 0 + 0,288 774 056 476 672;
  • 11) 0,288 774 056 476 672 × 2 = 0 + 0,577 548 112 953 344;
  • 12) 0,577 548 112 953 344 × 2 = 1 + 0,155 096 225 906 688;
  • 13) 0,155 096 225 906 688 × 2 = 0 + 0,310 192 451 813 376;
  • 14) 0,310 192 451 813 376 × 2 = 0 + 0,620 384 903 626 752;
  • 15) 0,620 384 903 626 752 × 2 = 1 + 0,240 769 807 253 504;
  • 16) 0,240 769 807 253 504 × 2 = 0 + 0,481 539 614 507 008;
  • 17) 0,481 539 614 507 008 × 2 = 0 + 0,963 079 229 014 016;
  • 18) 0,963 079 229 014 016 × 2 = 1 + 0,926 158 458 028 032;
  • 19) 0,926 158 458 028 032 × 2 = 1 + 0,852 316 916 056 064;
  • 20) 0,852 316 916 056 064 × 2 = 1 + 0,704 633 832 112 128;
  • 21) 0,704 633 832 112 128 × 2 = 1 + 0,409 267 664 224 256;
  • 22) 0,409 267 664 224 256 × 2 = 0 + 0,818 535 328 448 512;
  • 23) 0,818 535 328 448 512 × 2 = 1 + 0,637 070 656 897 024;
  • 24) 0,637 070 656 897 024 × 2 = 1 + 0,274 141 313 794 048;
  • 25) 0,274 141 313 794 048 × 2 = 0 + 0,548 282 627 588 096;
  • 26) 0,548 282 627 588 096 × 2 = 1 + 0,096 565 255 176 192;
  • 27) 0,096 565 255 176 192 × 2 = 0 + 0,193 130 510 352 384;
  • 28) 0,193 130 510 352 384 × 2 = 0 + 0,386 261 020 704 768;
  • 29) 0,386 261 020 704 768 × 2 = 0 + 0,772 522 041 409 536;
  • 30) 0,772 522 041 409 536 × 2 = 1 + 0,545 044 082 819 072;
  • 31) 0,545 044 082 819 072 × 2 = 1 + 0,090 088 165 638 144;
  • 32) 0,090 088 165 638 144 × 2 = 0 + 0,180 176 331 276 288;
  • 33) 0,180 176 331 276 288 × 2 = 0 + 0,360 352 662 552 576;
  • 34) 0,360 352 662 552 576 × 2 = 0 + 0,720 705 325 105 152;
  • 35) 0,720 705 325 105 152 × 2 = 1 + 0,441 410 650 210 304;
  • 36) 0,441 410 650 210 304 × 2 = 0 + 0,882 821 300 420 608;
  • 37) 0,882 821 300 420 608 × 2 = 1 + 0,765 642 600 841 216;
  • 38) 0,765 642 600 841 216 × 2 = 1 + 0,531 285 201 682 432;
  • 39) 0,531 285 201 682 432 × 2 = 1 + 0,062 570 403 364 864;
  • 40) 0,062 570 403 364 864 × 2 = 0 + 0,125 140 806 729 728;
  • 41) 0,125 140 806 729 728 × 2 = 0 + 0,250 281 613 459 456;
  • 42) 0,250 281 613 459 456 × 2 = 0 + 0,500 563 226 918 912;
  • 43) 0,500 563 226 918 912 × 2 = 1 + 0,001 126 453 837 824;
  • 44) 0,001 126 453 837 824 × 2 = 0 + 0,002 252 907 675 648;
  • 45) 0,002 252 907 675 648 × 2 = 0 + 0,004 505 815 351 296;
  • 46) 0,004 505 815 351 296 × 2 = 0 + 0,009 011 630 702 592;
  • 47) 0,009 011 630 702 592 × 2 = 0 + 0,018 023 261 405 184;
  • 48) 0,018 023 261 405 184 × 2 = 0 + 0,036 046 522 810 368;
  • 49) 0,036 046 522 810 368 × 2 = 0 + 0,072 093 045 620 736;
  • 50) 0,072 093 045 620 736 × 2 = 0 + 0,144 186 091 241 472;
  • 51) 0,144 186 091 241 472 × 2 = 0 + 0,288 372 182 482 944;
  • 52) 0,288 372 182 482 944 × 2 = 0 + 0,576 744 364 965 888;
  • 53) 0,576 744 364 965 888 × 2 = 1 + 0,153 488 729 931 776;
  • 54) 0,153 488 729 931 776 × 2 = 0 + 0,306 977 459 863 552;
  • 55) 0,306 977 459 863 552 × 2 = 0 + 0,613 954 919 727 104;
  • 56) 0,613 954 919 727 104 × 2 = 1 + 0,227 909 839 454 208;
  • 57) 0,227 909 839 454 208 × 2 = 0 + 0,455 819 678 908 416;
  • 58) 0,455 819 678 908 416 × 2 = 0 + 0,911 639 357 816 832;
  • 59) 0,911 639 357 816 832 × 2 = 1 + 0,823 278 715 633 664;
  • 60) 0,823 278 715 633 664 × 2 = 1 + 0,646 557 431 267 328;
  • 61) 0,646 557 431 267 328 × 2 = 1 + 0,293 114 862 534 656;
  • 62) 0,293 114 862 534 656 × 2 = 0 + 0,586 229 725 069 312;
  • 63) 0,586 229 725 069 312 × 2 = 1 + 0,172 459 450 138 624;
  • 64) 0,172 459 450 138 624 × 2 = 0 + 0,344 918 900 277 248;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 528(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 528(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 528(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 528 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0000 0000 1001 0011 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 601 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100