-0,000 282 005 914 537 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 537(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 537(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 537| = 0,000 282 005 914 537


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 537.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 537 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 074;
  • 2) 0,000 564 011 829 074 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 148;
  • 3) 0,001 128 023 658 148 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 296;
  • 4) 0,002 256 047 316 296 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 592;
  • 5) 0,004 512 094 632 592 × 2 = 0 + 0,009 024 189 265 184;
  • 6) 0,009 024 189 265 184 × 2 = 0 + 0,018 048 378 530 368;
  • 7) 0,018 048 378 530 368 × 2 = 0 + 0,036 096 757 060 736;
  • 8) 0,036 096 757 060 736 × 2 = 0 + 0,072 193 514 121 472;
  • 9) 0,072 193 514 121 472 × 2 = 0 + 0,144 387 028 242 944;
  • 10) 0,144 387 028 242 944 × 2 = 0 + 0,288 774 056 485 888;
  • 11) 0,288 774 056 485 888 × 2 = 0 + 0,577 548 112 971 776;
  • 12) 0,577 548 112 971 776 × 2 = 1 + 0,155 096 225 943 552;
  • 13) 0,155 096 225 943 552 × 2 = 0 + 0,310 192 451 887 104;
  • 14) 0,310 192 451 887 104 × 2 = 0 + 0,620 384 903 774 208;
  • 15) 0,620 384 903 774 208 × 2 = 1 + 0,240 769 807 548 416;
  • 16) 0,240 769 807 548 416 × 2 = 0 + 0,481 539 615 096 832;
  • 17) 0,481 539 615 096 832 × 2 = 0 + 0,963 079 230 193 664;
  • 18) 0,963 079 230 193 664 × 2 = 1 + 0,926 158 460 387 328;
  • 19) 0,926 158 460 387 328 × 2 = 1 + 0,852 316 920 774 656;
  • 20) 0,852 316 920 774 656 × 2 = 1 + 0,704 633 841 549 312;
  • 21) 0,704 633 841 549 312 × 2 = 1 + 0,409 267 683 098 624;
  • 22) 0,409 267 683 098 624 × 2 = 0 + 0,818 535 366 197 248;
  • 23) 0,818 535 366 197 248 × 2 = 1 + 0,637 070 732 394 496;
  • 24) 0,637 070 732 394 496 × 2 = 1 + 0,274 141 464 788 992;
  • 25) 0,274 141 464 788 992 × 2 = 0 + 0,548 282 929 577 984;
  • 26) 0,548 282 929 577 984 × 2 = 1 + 0,096 565 859 155 968;
  • 27) 0,096 565 859 155 968 × 2 = 0 + 0,193 131 718 311 936;
  • 28) 0,193 131 718 311 936 × 2 = 0 + 0,386 263 436 623 872;
  • 29) 0,386 263 436 623 872 × 2 = 0 + 0,772 526 873 247 744;
  • 30) 0,772 526 873 247 744 × 2 = 1 + 0,545 053 746 495 488;
  • 31) 0,545 053 746 495 488 × 2 = 1 + 0,090 107 492 990 976;
  • 32) 0,090 107 492 990 976 × 2 = 0 + 0,180 214 985 981 952;
  • 33) 0,180 214 985 981 952 × 2 = 0 + 0,360 429 971 963 904;
  • 34) 0,360 429 971 963 904 × 2 = 0 + 0,720 859 943 927 808;
  • 35) 0,720 859 943 927 808 × 2 = 1 + 0,441 719 887 855 616;
  • 36) 0,441 719 887 855 616 × 2 = 0 + 0,883 439 775 711 232;
  • 37) 0,883 439 775 711 232 × 2 = 1 + 0,766 879 551 422 464;
  • 38) 0,766 879 551 422 464 × 2 = 1 + 0,533 759 102 844 928;
  • 39) 0,533 759 102 844 928 × 2 = 1 + 0,067 518 205 689 856;
  • 40) 0,067 518 205 689 856 × 2 = 0 + 0,135 036 411 379 712;
  • 41) 0,135 036 411 379 712 × 2 = 0 + 0,270 072 822 759 424;
  • 42) 0,270 072 822 759 424 × 2 = 0 + 0,540 145 645 518 848;
  • 43) 0,540 145 645 518 848 × 2 = 1 + 0,080 291 291 037 696;
  • 44) 0,080 291 291 037 696 × 2 = 0 + 0,160 582 582 075 392;
  • 45) 0,160 582 582 075 392 × 2 = 0 + 0,321 165 164 150 784;
  • 46) 0,321 165 164 150 784 × 2 = 0 + 0,642 330 328 301 568;
  • 47) 0,642 330 328 301 568 × 2 = 1 + 0,284 660 656 603 136;
  • 48) 0,284 660 656 603 136 × 2 = 0 + 0,569 321 313 206 272;
  • 49) 0,569 321 313 206 272 × 2 = 1 + 0,138 642 626 412 544;
  • 50) 0,138 642 626 412 544 × 2 = 0 + 0,277 285 252 825 088;
  • 51) 0,277 285 252 825 088 × 2 = 0 + 0,554 570 505 650 176;
  • 52) 0,554 570 505 650 176 × 2 = 1 + 0,109 141 011 300 352;
  • 53) 0,109 141 011 300 352 × 2 = 0 + 0,218 282 022 600 704;
  • 54) 0,218 282 022 600 704 × 2 = 0 + 0,436 564 045 201 408;
  • 55) 0,436 564 045 201 408 × 2 = 0 + 0,873 128 090 402 816;
  • 56) 0,873 128 090 402 816 × 2 = 1 + 0,746 256 180 805 632;
  • 57) 0,746 256 180 805 632 × 2 = 1 + 0,492 512 361 611 264;
  • 58) 0,492 512 361 611 264 × 2 = 0 + 0,985 024 723 222 528;
  • 59) 0,985 024 723 222 528 × 2 = 1 + 0,970 049 446 445 056;
  • 60) 0,970 049 446 445 056 × 2 = 1 + 0,940 098 892 890 112;
  • 61) 0,940 098 892 890 112 × 2 = 1 + 0,880 197 785 780 224;
  • 62) 0,880 197 785 780 224 × 2 = 1 + 0,760 395 571 560 448;
  • 63) 0,760 395 571 560 448 × 2 = 1 + 0,520 791 143 120 896;
  • 64) 0,520 791 143 120 896 × 2 = 1 + 0,041 582 286 241 792;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 537(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 537(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 537(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 537 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0010 1001 0001 1011 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 473 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100