-0,000 282 005 914 54 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 54(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 54(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 54| = 0,000 282 005 914 54


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 54 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 08;
  • 2) 0,000 564 011 829 08 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 16;
  • 3) 0,001 128 023 658 16 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 32;
  • 4) 0,002 256 047 316 32 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 64;
  • 5) 0,004 512 094 632 64 × 2 = 0 + 0,009 024 189 265 28;
  • 6) 0,009 024 189 265 28 × 2 = 0 + 0,018 048 378 530 56;
  • 7) 0,018 048 378 530 56 × 2 = 0 + 0,036 096 757 061 12;
  • 8) 0,036 096 757 061 12 × 2 = 0 + 0,072 193 514 122 24;
  • 9) 0,072 193 514 122 24 × 2 = 0 + 0,144 387 028 244 48;
  • 10) 0,144 387 028 244 48 × 2 = 0 + 0,288 774 056 488 96;
  • 11) 0,288 774 056 488 96 × 2 = 0 + 0,577 548 112 977 92;
  • 12) 0,577 548 112 977 92 × 2 = 1 + 0,155 096 225 955 84;
  • 13) 0,155 096 225 955 84 × 2 = 0 + 0,310 192 451 911 68;
  • 14) 0,310 192 451 911 68 × 2 = 0 + 0,620 384 903 823 36;
  • 15) 0,620 384 903 823 36 × 2 = 1 + 0,240 769 807 646 72;
  • 16) 0,240 769 807 646 72 × 2 = 0 + 0,481 539 615 293 44;
  • 17) 0,481 539 615 293 44 × 2 = 0 + 0,963 079 230 586 88;
  • 18) 0,963 079 230 586 88 × 2 = 1 + 0,926 158 461 173 76;
  • 19) 0,926 158 461 173 76 × 2 = 1 + 0,852 316 922 347 52;
  • 20) 0,852 316 922 347 52 × 2 = 1 + 0,704 633 844 695 04;
  • 21) 0,704 633 844 695 04 × 2 = 1 + 0,409 267 689 390 08;
  • 22) 0,409 267 689 390 08 × 2 = 0 + 0,818 535 378 780 16;
  • 23) 0,818 535 378 780 16 × 2 = 1 + 0,637 070 757 560 32;
  • 24) 0,637 070 757 560 32 × 2 = 1 + 0,274 141 515 120 64;
  • 25) 0,274 141 515 120 64 × 2 = 0 + 0,548 283 030 241 28;
  • 26) 0,548 283 030 241 28 × 2 = 1 + 0,096 566 060 482 56;
  • 27) 0,096 566 060 482 56 × 2 = 0 + 0,193 132 120 965 12;
  • 28) 0,193 132 120 965 12 × 2 = 0 + 0,386 264 241 930 24;
  • 29) 0,386 264 241 930 24 × 2 = 0 + 0,772 528 483 860 48;
  • 30) 0,772 528 483 860 48 × 2 = 1 + 0,545 056 967 720 96;
  • 31) 0,545 056 967 720 96 × 2 = 1 + 0,090 113 935 441 92;
  • 32) 0,090 113 935 441 92 × 2 = 0 + 0,180 227 870 883 84;
  • 33) 0,180 227 870 883 84 × 2 = 0 + 0,360 455 741 767 68;
  • 34) 0,360 455 741 767 68 × 2 = 0 + 0,720 911 483 535 36;
  • 35) 0,720 911 483 535 36 × 2 = 1 + 0,441 822 967 070 72;
  • 36) 0,441 822 967 070 72 × 2 = 0 + 0,883 645 934 141 44;
  • 37) 0,883 645 934 141 44 × 2 = 1 + 0,767 291 868 282 88;
  • 38) 0,767 291 868 282 88 × 2 = 1 + 0,534 583 736 565 76;
  • 39) 0,534 583 736 565 76 × 2 = 1 + 0,069 167 473 131 52;
  • 40) 0,069 167 473 131 52 × 2 = 0 + 0,138 334 946 263 04;
  • 41) 0,138 334 946 263 04 × 2 = 0 + 0,276 669 892 526 08;
  • 42) 0,276 669 892 526 08 × 2 = 0 + 0,553 339 785 052 16;
  • 43) 0,553 339 785 052 16 × 2 = 1 + 0,106 679 570 104 32;
  • 44) 0,106 679 570 104 32 × 2 = 0 + 0,213 359 140 208 64;
  • 45) 0,213 359 140 208 64 × 2 = 0 + 0,426 718 280 417 28;
  • 46) 0,426 718 280 417 28 × 2 = 0 + 0,853 436 560 834 56;
  • 47) 0,853 436 560 834 56 × 2 = 1 + 0,706 873 121 669 12;
  • 48) 0,706 873 121 669 12 × 2 = 1 + 0,413 746 243 338 24;
  • 49) 0,413 746 243 338 24 × 2 = 0 + 0,827 492 486 676 48;
  • 50) 0,827 492 486 676 48 × 2 = 1 + 0,654 984 973 352 96;
  • 51) 0,654 984 973 352 96 × 2 = 1 + 0,309 969 946 705 92;
  • 52) 0,309 969 946 705 92 × 2 = 0 + 0,619 939 893 411 84;
  • 53) 0,619 939 893 411 84 × 2 = 1 + 0,239 879 786 823 68;
  • 54) 0,239 879 786 823 68 × 2 = 0 + 0,479 759 573 647 36;
  • 55) 0,479 759 573 647 36 × 2 = 0 + 0,959 519 147 294 72;
  • 56) 0,959 519 147 294 72 × 2 = 1 + 0,919 038 294 589 44;
  • 57) 0,919 038 294 589 44 × 2 = 1 + 0,838 076 589 178 88;
  • 58) 0,838 076 589 178 88 × 2 = 1 + 0,676 153 178 357 76;
  • 59) 0,676 153 178 357 76 × 2 = 1 + 0,352 306 356 715 52;
  • 60) 0,352 306 356 715 52 × 2 = 0 + 0,704 612 713 431 04;
  • 61) 0,704 612 713 431 04 × 2 = 1 + 0,409 225 426 862 08;
  • 62) 0,409 225 426 862 08 × 2 = 0 + 0,818 450 853 724 16;
  • 63) 0,818 450 853 724 16 × 2 = 1 + 0,636 901 707 448 32;
  • 64) 0,636 901 707 448 32 × 2 = 1 + 0,273 803 414 896 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 54 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0011 0110 1001 1110 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 03 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100