-0,000 282 005 915 03 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 03(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 03(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 03| = 0,000 282 005 915 03


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 03.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 03 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 06;
  • 2) 0,000 564 011 830 06 × 2 = 0 + 0,001 128 023 660 12;
  • 3) 0,001 128 023 660 12 × 2 = 0 + 0,002 256 047 320 24;
  • 4) 0,002 256 047 320 24 × 2 = 0 + 0,004 512 094 640 48;
  • 5) 0,004 512 094 640 48 × 2 = 0 + 0,009 024 189 280 96;
  • 6) 0,009 024 189 280 96 × 2 = 0 + 0,018 048 378 561 92;
  • 7) 0,018 048 378 561 92 × 2 = 0 + 0,036 096 757 123 84;
  • 8) 0,036 096 757 123 84 × 2 = 0 + 0,072 193 514 247 68;
  • 9) 0,072 193 514 247 68 × 2 = 0 + 0,144 387 028 495 36;
  • 10) 0,144 387 028 495 36 × 2 = 0 + 0,288 774 056 990 72;
  • 11) 0,288 774 056 990 72 × 2 = 0 + 0,577 548 113 981 44;
  • 12) 0,577 548 113 981 44 × 2 = 1 + 0,155 096 227 962 88;
  • 13) 0,155 096 227 962 88 × 2 = 0 + 0,310 192 455 925 76;
  • 14) 0,310 192 455 925 76 × 2 = 0 + 0,620 384 911 851 52;
  • 15) 0,620 384 911 851 52 × 2 = 1 + 0,240 769 823 703 04;
  • 16) 0,240 769 823 703 04 × 2 = 0 + 0,481 539 647 406 08;
  • 17) 0,481 539 647 406 08 × 2 = 0 + 0,963 079 294 812 16;
  • 18) 0,963 079 294 812 16 × 2 = 1 + 0,926 158 589 624 32;
  • 19) 0,926 158 589 624 32 × 2 = 1 + 0,852 317 179 248 64;
  • 20) 0,852 317 179 248 64 × 2 = 1 + 0,704 634 358 497 28;
  • 21) 0,704 634 358 497 28 × 2 = 1 + 0,409 268 716 994 56;
  • 22) 0,409 268 716 994 56 × 2 = 0 + 0,818 537 433 989 12;
  • 23) 0,818 537 433 989 12 × 2 = 1 + 0,637 074 867 978 24;
  • 24) 0,637 074 867 978 24 × 2 = 1 + 0,274 149 735 956 48;
  • 25) 0,274 149 735 956 48 × 2 = 0 + 0,548 299 471 912 96;
  • 26) 0,548 299 471 912 96 × 2 = 1 + 0,096 598 943 825 92;
  • 27) 0,096 598 943 825 92 × 2 = 0 + 0,193 197 887 651 84;
  • 28) 0,193 197 887 651 84 × 2 = 0 + 0,386 395 775 303 68;
  • 29) 0,386 395 775 303 68 × 2 = 0 + 0,772 791 550 607 36;
  • 30) 0,772 791 550 607 36 × 2 = 1 + 0,545 583 101 214 72;
  • 31) 0,545 583 101 214 72 × 2 = 1 + 0,091 166 202 429 44;
  • 32) 0,091 166 202 429 44 × 2 = 0 + 0,182 332 404 858 88;
  • 33) 0,182 332 404 858 88 × 2 = 0 + 0,364 664 809 717 76;
  • 34) 0,364 664 809 717 76 × 2 = 0 + 0,729 329 619 435 52;
  • 35) 0,729 329 619 435 52 × 2 = 1 + 0,458 659 238 871 04;
  • 36) 0,458 659 238 871 04 × 2 = 0 + 0,917 318 477 742 08;
  • 37) 0,917 318 477 742 08 × 2 = 1 + 0,834 636 955 484 16;
  • 38) 0,834 636 955 484 16 × 2 = 1 + 0,669 273 910 968 32;
  • 39) 0,669 273 910 968 32 × 2 = 1 + 0,338 547 821 936 64;
  • 40) 0,338 547 821 936 64 × 2 = 0 + 0,677 095 643 873 28;
  • 41) 0,677 095 643 873 28 × 2 = 1 + 0,354 191 287 746 56;
  • 42) 0,354 191 287 746 56 × 2 = 0 + 0,708 382 575 493 12;
  • 43) 0,708 382 575 493 12 × 2 = 1 + 0,416 765 150 986 24;
  • 44) 0,416 765 150 986 24 × 2 = 0 + 0,833 530 301 972 48;
  • 45) 0,833 530 301 972 48 × 2 = 1 + 0,667 060 603 944 96;
  • 46) 0,667 060 603 944 96 × 2 = 1 + 0,334 121 207 889 92;
  • 47) 0,334 121 207 889 92 × 2 = 0 + 0,668 242 415 779 84;
  • 48) 0,668 242 415 779 84 × 2 = 1 + 0,336 484 831 559 68;
  • 49) 0,336 484 831 559 68 × 2 = 0 + 0,672 969 663 119 36;
  • 50) 0,672 969 663 119 36 × 2 = 1 + 0,345 939 326 238 72;
  • 51) 0,345 939 326 238 72 × 2 = 0 + 0,691 878 652 477 44;
  • 52) 0,691 878 652 477 44 × 2 = 1 + 0,383 757 304 954 88;
  • 53) 0,383 757 304 954 88 × 2 = 0 + 0,767 514 609 909 76;
  • 54) 0,767 514 609 909 76 × 2 = 1 + 0,535 029 219 819 52;
  • 55) 0,535 029 219 819 52 × 2 = 1 + 0,070 058 439 639 04;
  • 56) 0,070 058 439 639 04 × 2 = 0 + 0,140 116 879 278 08;
  • 57) 0,140 116 879 278 08 × 2 = 0 + 0,280 233 758 556 16;
  • 58) 0,280 233 758 556 16 × 2 = 0 + 0,560 467 517 112 32;
  • 59) 0,560 467 517 112 32 × 2 = 1 + 0,120 935 034 224 64;
  • 60) 0,120 935 034 224 64 × 2 = 0 + 0,241 870 068 449 28;
  • 61) 0,241 870 068 449 28 × 2 = 0 + 0,483 740 136 898 56;
  • 62) 0,483 740 136 898 56 × 2 = 0 + 0,967 480 273 797 12;
  • 63) 0,967 480 273 797 12 × 2 = 1 + 0,934 960 547 594 24;
  • 64) 0,934 960 547 594 24 × 2 = 1 + 0,869 921 095 188 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 03(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 03(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 03(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 03 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1010 1101 0101 0110 0010 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 15 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100