-0,000 282 005 914 547 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 547(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 547(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 547| = 0,000 282 005 914 547


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 547.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 547 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 094;
  • 2) 0,000 564 011 829 094 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 188;
  • 3) 0,001 128 023 658 188 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 376;
  • 4) 0,002 256 047 316 376 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 752;
  • 5) 0,004 512 094 632 752 × 2 = 0 + 0,009 024 189 265 504;
  • 6) 0,009 024 189 265 504 × 2 = 0 + 0,018 048 378 531 008;
  • 7) 0,018 048 378 531 008 × 2 = 0 + 0,036 096 757 062 016;
  • 8) 0,036 096 757 062 016 × 2 = 0 + 0,072 193 514 124 032;
  • 9) 0,072 193 514 124 032 × 2 = 0 + 0,144 387 028 248 064;
  • 10) 0,144 387 028 248 064 × 2 = 0 + 0,288 774 056 496 128;
  • 11) 0,288 774 056 496 128 × 2 = 0 + 0,577 548 112 992 256;
  • 12) 0,577 548 112 992 256 × 2 = 1 + 0,155 096 225 984 512;
  • 13) 0,155 096 225 984 512 × 2 = 0 + 0,310 192 451 969 024;
  • 14) 0,310 192 451 969 024 × 2 = 0 + 0,620 384 903 938 048;
  • 15) 0,620 384 903 938 048 × 2 = 1 + 0,240 769 807 876 096;
  • 16) 0,240 769 807 876 096 × 2 = 0 + 0,481 539 615 752 192;
  • 17) 0,481 539 615 752 192 × 2 = 0 + 0,963 079 231 504 384;
  • 18) 0,963 079 231 504 384 × 2 = 1 + 0,926 158 463 008 768;
  • 19) 0,926 158 463 008 768 × 2 = 1 + 0,852 316 926 017 536;
  • 20) 0,852 316 926 017 536 × 2 = 1 + 0,704 633 852 035 072;
  • 21) 0,704 633 852 035 072 × 2 = 1 + 0,409 267 704 070 144;
  • 22) 0,409 267 704 070 144 × 2 = 0 + 0,818 535 408 140 288;
  • 23) 0,818 535 408 140 288 × 2 = 1 + 0,637 070 816 280 576;
  • 24) 0,637 070 816 280 576 × 2 = 1 + 0,274 141 632 561 152;
  • 25) 0,274 141 632 561 152 × 2 = 0 + 0,548 283 265 122 304;
  • 26) 0,548 283 265 122 304 × 2 = 1 + 0,096 566 530 244 608;
  • 27) 0,096 566 530 244 608 × 2 = 0 + 0,193 133 060 489 216;
  • 28) 0,193 133 060 489 216 × 2 = 0 + 0,386 266 120 978 432;
  • 29) 0,386 266 120 978 432 × 2 = 0 + 0,772 532 241 956 864;
  • 30) 0,772 532 241 956 864 × 2 = 1 + 0,545 064 483 913 728;
  • 31) 0,545 064 483 913 728 × 2 = 1 + 0,090 128 967 827 456;
  • 32) 0,090 128 967 827 456 × 2 = 0 + 0,180 257 935 654 912;
  • 33) 0,180 257 935 654 912 × 2 = 0 + 0,360 515 871 309 824;
  • 34) 0,360 515 871 309 824 × 2 = 0 + 0,721 031 742 619 648;
  • 35) 0,721 031 742 619 648 × 2 = 1 + 0,442 063 485 239 296;
  • 36) 0,442 063 485 239 296 × 2 = 0 + 0,884 126 970 478 592;
  • 37) 0,884 126 970 478 592 × 2 = 1 + 0,768 253 940 957 184;
  • 38) 0,768 253 940 957 184 × 2 = 1 + 0,536 507 881 914 368;
  • 39) 0,536 507 881 914 368 × 2 = 1 + 0,073 015 763 828 736;
  • 40) 0,073 015 763 828 736 × 2 = 0 + 0,146 031 527 657 472;
  • 41) 0,146 031 527 657 472 × 2 = 0 + 0,292 063 055 314 944;
  • 42) 0,292 063 055 314 944 × 2 = 0 + 0,584 126 110 629 888;
  • 43) 0,584 126 110 629 888 × 2 = 1 + 0,168 252 221 259 776;
  • 44) 0,168 252 221 259 776 × 2 = 0 + 0,336 504 442 519 552;
  • 45) 0,336 504 442 519 552 × 2 = 0 + 0,673 008 885 039 104;
  • 46) 0,673 008 885 039 104 × 2 = 1 + 0,346 017 770 078 208;
  • 47) 0,346 017 770 078 208 × 2 = 0 + 0,692 035 540 156 416;
  • 48) 0,692 035 540 156 416 × 2 = 1 + 0,384 071 080 312 832;
  • 49) 0,384 071 080 312 832 × 2 = 0 + 0,768 142 160 625 664;
  • 50) 0,768 142 160 625 664 × 2 = 1 + 0,536 284 321 251 328;
  • 51) 0,536 284 321 251 328 × 2 = 1 + 0,072 568 642 502 656;
  • 52) 0,072 568 642 502 656 × 2 = 0 + 0,145 137 285 005 312;
  • 53) 0,145 137 285 005 312 × 2 = 0 + 0,290 274 570 010 624;
  • 54) 0,290 274 570 010 624 × 2 = 0 + 0,580 549 140 021 248;
  • 55) 0,580 549 140 021 248 × 2 = 1 + 0,161 098 280 042 496;
  • 56) 0,161 098 280 042 496 × 2 = 0 + 0,322 196 560 084 992;
  • 57) 0,322 196 560 084 992 × 2 = 0 + 0,644 393 120 169 984;
  • 58) 0,644 393 120 169 984 × 2 = 1 + 0,288 786 240 339 968;
  • 59) 0,288 786 240 339 968 × 2 = 0 + 0,577 572 480 679 936;
  • 60) 0,577 572 480 679 936 × 2 = 1 + 0,155 144 961 359 872;
  • 61) 0,155 144 961 359 872 × 2 = 0 + 0,310 289 922 719 744;
  • 62) 0,310 289 922 719 744 × 2 = 0 + 0,620 579 845 439 488;
  • 63) 0,620 579 845 439 488 × 2 = 1 + 0,241 159 690 878 976;
  • 64) 0,241 159 690 878 976 × 2 = 0 + 0,482 319 381 757 952;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 547(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 547(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 547(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 547 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0010 0101 0110 0010 0101 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 561 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100