-0,000 282 005 914 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 6| = 0,000 282 005 914 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 2;
  • 2) 0,000 564 011 829 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 4;
  • 3) 0,001 128 023 658 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 8;
  • 4) 0,002 256 047 316 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 633 6;
  • 5) 0,004 512 094 633 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 267 2;
  • 6) 0,009 024 189 267 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 534 4;
  • 7) 0,018 048 378 534 4 × 2 = 0 + 0,036 096 757 068 8;
  • 8) 0,036 096 757 068 8 × 2 = 0 + 0,072 193 514 137 6;
  • 9) 0,072 193 514 137 6 × 2 = 0 + 0,144 387 028 275 2;
  • 10) 0,144 387 028 275 2 × 2 = 0 + 0,288 774 056 550 4;
  • 11) 0,288 774 056 550 4 × 2 = 0 + 0,577 548 113 100 8;
  • 12) 0,577 548 113 100 8 × 2 = 1 + 0,155 096 226 201 6;
  • 13) 0,155 096 226 201 6 × 2 = 0 + 0,310 192 452 403 2;
  • 14) 0,310 192 452 403 2 × 2 = 0 + 0,620 384 904 806 4;
  • 15) 0,620 384 904 806 4 × 2 = 1 + 0,240 769 809 612 8;
  • 16) 0,240 769 809 612 8 × 2 = 0 + 0,481 539 619 225 6;
  • 17) 0,481 539 619 225 6 × 2 = 0 + 0,963 079 238 451 2;
  • 18) 0,963 079 238 451 2 × 2 = 1 + 0,926 158 476 902 4;
  • 19) 0,926 158 476 902 4 × 2 = 1 + 0,852 316 953 804 8;
  • 20) 0,852 316 953 804 8 × 2 = 1 + 0,704 633 907 609 6;
  • 21) 0,704 633 907 609 6 × 2 = 1 + 0,409 267 815 219 2;
  • 22) 0,409 267 815 219 2 × 2 = 0 + 0,818 535 630 438 4;
  • 23) 0,818 535 630 438 4 × 2 = 1 + 0,637 071 260 876 8;
  • 24) 0,637 071 260 876 8 × 2 = 1 + 0,274 142 521 753 6;
  • 25) 0,274 142 521 753 6 × 2 = 0 + 0,548 285 043 507 2;
  • 26) 0,548 285 043 507 2 × 2 = 1 + 0,096 570 087 014 4;
  • 27) 0,096 570 087 014 4 × 2 = 0 + 0,193 140 174 028 8;
  • 28) 0,193 140 174 028 8 × 2 = 0 + 0,386 280 348 057 6;
  • 29) 0,386 280 348 057 6 × 2 = 0 + 0,772 560 696 115 2;
  • 30) 0,772 560 696 115 2 × 2 = 1 + 0,545 121 392 230 4;
  • 31) 0,545 121 392 230 4 × 2 = 1 + 0,090 242 784 460 8;
  • 32) 0,090 242 784 460 8 × 2 = 0 + 0,180 485 568 921 6;
  • 33) 0,180 485 568 921 6 × 2 = 0 + 0,360 971 137 843 2;
  • 34) 0,360 971 137 843 2 × 2 = 0 + 0,721 942 275 686 4;
  • 35) 0,721 942 275 686 4 × 2 = 1 + 0,443 884 551 372 8;
  • 36) 0,443 884 551 372 8 × 2 = 0 + 0,887 769 102 745 6;
  • 37) 0,887 769 102 745 6 × 2 = 1 + 0,775 538 205 491 2;
  • 38) 0,775 538 205 491 2 × 2 = 1 + 0,551 076 410 982 4;
  • 39) 0,551 076 410 982 4 × 2 = 1 + 0,102 152 821 964 8;
  • 40) 0,102 152 821 964 8 × 2 = 0 + 0,204 305 643 929 6;
  • 41) 0,204 305 643 929 6 × 2 = 0 + 0,408 611 287 859 2;
  • 42) 0,408 611 287 859 2 × 2 = 0 + 0,817 222 575 718 4;
  • 43) 0,817 222 575 718 4 × 2 = 1 + 0,634 445 151 436 8;
  • 44) 0,634 445 151 436 8 × 2 = 1 + 0,268 890 302 873 6;
  • 45) 0,268 890 302 873 6 × 2 = 0 + 0,537 780 605 747 2;
  • 46) 0,537 780 605 747 2 × 2 = 1 + 0,075 561 211 494 4;
  • 47) 0,075 561 211 494 4 × 2 = 0 + 0,151 122 422 988 8;
  • 48) 0,151 122 422 988 8 × 2 = 0 + 0,302 244 845 977 6;
  • 49) 0,302 244 845 977 6 × 2 = 0 + 0,604 489 691 955 2;
  • 50) 0,604 489 691 955 2 × 2 = 1 + 0,208 979 383 910 4;
  • 51) 0,208 979 383 910 4 × 2 = 0 + 0,417 958 767 820 8;
  • 52) 0,417 958 767 820 8 × 2 = 0 + 0,835 917 535 641 6;
  • 53) 0,835 917 535 641 6 × 2 = 1 + 0,671 835 071 283 2;
  • 54) 0,671 835 071 283 2 × 2 = 1 + 0,343 670 142 566 4;
  • 55) 0,343 670 142 566 4 × 2 = 0 + 0,687 340 285 132 8;
  • 56) 0,687 340 285 132 8 × 2 = 1 + 0,374 680 570 265 6;
  • 57) 0,374 680 570 265 6 × 2 = 0 + 0,749 361 140 531 2;
  • 58) 0,749 361 140 531 2 × 2 = 1 + 0,498 722 281 062 4;
  • 59) 0,498 722 281 062 4 × 2 = 0 + 0,997 444 562 124 8;
  • 60) 0,997 444 562 124 8 × 2 = 1 + 0,994 889 124 249 6;
  • 61) 0,994 889 124 249 6 × 2 = 1 + 0,989 778 248 499 2;
  • 62) 0,989 778 248 499 2 × 2 = 1 + 0,979 556 496 998 4;
  • 63) 0,979 556 496 998 4 × 2 = 1 + 0,959 112 993 996 8;
  • 64) 0,959 112 993 996 8 × 2 = 1 + 0,918 225 987 993 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0011 0100 0100 1101 0101 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 909 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100