-0,000 282 005 914 74 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 74(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 74(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 74| = 0,000 282 005 914 74


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 74.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 74 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 48;
  • 2) 0,000 564 011 829 48 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 96;
  • 3) 0,001 128 023 658 96 × 2 = 0 + 0,002 256 047 317 92;
  • 4) 0,002 256 047 317 92 × 2 = 0 + 0,004 512 094 635 84;
  • 5) 0,004 512 094 635 84 × 2 = 0 + 0,009 024 189 271 68;
  • 6) 0,009 024 189 271 68 × 2 = 0 + 0,018 048 378 543 36;
  • 7) 0,018 048 378 543 36 × 2 = 0 + 0,036 096 757 086 72;
  • 8) 0,036 096 757 086 72 × 2 = 0 + 0,072 193 514 173 44;
  • 9) 0,072 193 514 173 44 × 2 = 0 + 0,144 387 028 346 88;
  • 10) 0,144 387 028 346 88 × 2 = 0 + 0,288 774 056 693 76;
  • 11) 0,288 774 056 693 76 × 2 = 0 + 0,577 548 113 387 52;
  • 12) 0,577 548 113 387 52 × 2 = 1 + 0,155 096 226 775 04;
  • 13) 0,155 096 226 775 04 × 2 = 0 + 0,310 192 453 550 08;
  • 14) 0,310 192 453 550 08 × 2 = 0 + 0,620 384 907 100 16;
  • 15) 0,620 384 907 100 16 × 2 = 1 + 0,240 769 814 200 32;
  • 16) 0,240 769 814 200 32 × 2 = 0 + 0,481 539 628 400 64;
  • 17) 0,481 539 628 400 64 × 2 = 0 + 0,963 079 256 801 28;
  • 18) 0,963 079 256 801 28 × 2 = 1 + 0,926 158 513 602 56;
  • 19) 0,926 158 513 602 56 × 2 = 1 + 0,852 317 027 205 12;
  • 20) 0,852 317 027 205 12 × 2 = 1 + 0,704 634 054 410 24;
  • 21) 0,704 634 054 410 24 × 2 = 1 + 0,409 268 108 820 48;
  • 22) 0,409 268 108 820 48 × 2 = 0 + 0,818 536 217 640 96;
  • 23) 0,818 536 217 640 96 × 2 = 1 + 0,637 072 435 281 92;
  • 24) 0,637 072 435 281 92 × 2 = 1 + 0,274 144 870 563 84;
  • 25) 0,274 144 870 563 84 × 2 = 0 + 0,548 289 741 127 68;
  • 26) 0,548 289 741 127 68 × 2 = 1 + 0,096 579 482 255 36;
  • 27) 0,096 579 482 255 36 × 2 = 0 + 0,193 158 964 510 72;
  • 28) 0,193 158 964 510 72 × 2 = 0 + 0,386 317 929 021 44;
  • 29) 0,386 317 929 021 44 × 2 = 0 + 0,772 635 858 042 88;
  • 30) 0,772 635 858 042 88 × 2 = 1 + 0,545 271 716 085 76;
  • 31) 0,545 271 716 085 76 × 2 = 1 + 0,090 543 432 171 52;
  • 32) 0,090 543 432 171 52 × 2 = 0 + 0,181 086 864 343 04;
  • 33) 0,181 086 864 343 04 × 2 = 0 + 0,362 173 728 686 08;
  • 34) 0,362 173 728 686 08 × 2 = 0 + 0,724 347 457 372 16;
  • 35) 0,724 347 457 372 16 × 2 = 1 + 0,448 694 914 744 32;
  • 36) 0,448 694 914 744 32 × 2 = 0 + 0,897 389 829 488 64;
  • 37) 0,897 389 829 488 64 × 2 = 1 + 0,794 779 658 977 28;
  • 38) 0,794 779 658 977 28 × 2 = 1 + 0,589 559 317 954 56;
  • 39) 0,589 559 317 954 56 × 2 = 1 + 0,179 118 635 909 12;
  • 40) 0,179 118 635 909 12 × 2 = 0 + 0,358 237 271 818 24;
  • 41) 0,358 237 271 818 24 × 2 = 0 + 0,716 474 543 636 48;
  • 42) 0,716 474 543 636 48 × 2 = 1 + 0,432 949 087 272 96;
  • 43) 0,432 949 087 272 96 × 2 = 0 + 0,865 898 174 545 92;
  • 44) 0,865 898 174 545 92 × 2 = 1 + 0,731 796 349 091 84;
  • 45) 0,731 796 349 091 84 × 2 = 1 + 0,463 592 698 183 68;
  • 46) 0,463 592 698 183 68 × 2 = 0 + 0,927 185 396 367 36;
  • 47) 0,927 185 396 367 36 × 2 = 1 + 0,854 370 792 734 72;
  • 48) 0,854 370 792 734 72 × 2 = 1 + 0,708 741 585 469 44;
  • 49) 0,708 741 585 469 44 × 2 = 1 + 0,417 483 170 938 88;
  • 50) 0,417 483 170 938 88 × 2 = 0 + 0,834 966 341 877 76;
  • 51) 0,834 966 341 877 76 × 2 = 1 + 0,669 932 683 755 52;
  • 52) 0,669 932 683 755 52 × 2 = 1 + 0,339 865 367 511 04;
  • 53) 0,339 865 367 511 04 × 2 = 0 + 0,679 730 735 022 08;
  • 54) 0,679 730 735 022 08 × 2 = 1 + 0,359 461 470 044 16;
  • 55) 0,359 461 470 044 16 × 2 = 0 + 0,718 922 940 088 32;
  • 56) 0,718 922 940 088 32 × 2 = 1 + 0,437 845 880 176 64;
  • 57) 0,437 845 880 176 64 × 2 = 0 + 0,875 691 760 353 28;
  • 58) 0,875 691 760 353 28 × 2 = 1 + 0,751 383 520 706 56;
  • 59) 0,751 383 520 706 56 × 2 = 1 + 0,502 767 041 413 12;
  • 60) 0,502 767 041 413 12 × 2 = 1 + 0,005 534 082 826 24;
  • 61) 0,005 534 082 826 24 × 2 = 0 + 0,011 068 165 652 48;
  • 62) 0,011 068 165 652 48 × 2 = 0 + 0,022 136 331 304 96;
  • 63) 0,022 136 331 304 96 × 2 = 0 + 0,044 272 662 609 92;
  • 64) 0,044 272 662 609 92 × 2 = 0 + 0,088 545 325 219 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 74(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 74(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 74(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 74 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0101 1011 1011 0101 0111 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100