-0,000 282 005 915 09 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 09(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 09(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 09| = 0,000 282 005 915 09


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 09.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 09 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 18;
  • 2) 0,000 564 011 830 18 × 2 = 0 + 0,001 128 023 660 36;
  • 3) 0,001 128 023 660 36 × 2 = 0 + 0,002 256 047 320 72;
  • 4) 0,002 256 047 320 72 × 2 = 0 + 0,004 512 094 641 44;
  • 5) 0,004 512 094 641 44 × 2 = 0 + 0,009 024 189 282 88;
  • 6) 0,009 024 189 282 88 × 2 = 0 + 0,018 048 378 565 76;
  • 7) 0,018 048 378 565 76 × 2 = 0 + 0,036 096 757 131 52;
  • 8) 0,036 096 757 131 52 × 2 = 0 + 0,072 193 514 263 04;
  • 9) 0,072 193 514 263 04 × 2 = 0 + 0,144 387 028 526 08;
  • 10) 0,144 387 028 526 08 × 2 = 0 + 0,288 774 057 052 16;
  • 11) 0,288 774 057 052 16 × 2 = 0 + 0,577 548 114 104 32;
  • 12) 0,577 548 114 104 32 × 2 = 1 + 0,155 096 228 208 64;
  • 13) 0,155 096 228 208 64 × 2 = 0 + 0,310 192 456 417 28;
  • 14) 0,310 192 456 417 28 × 2 = 0 + 0,620 384 912 834 56;
  • 15) 0,620 384 912 834 56 × 2 = 1 + 0,240 769 825 669 12;
  • 16) 0,240 769 825 669 12 × 2 = 0 + 0,481 539 651 338 24;
  • 17) 0,481 539 651 338 24 × 2 = 0 + 0,963 079 302 676 48;
  • 18) 0,963 079 302 676 48 × 2 = 1 + 0,926 158 605 352 96;
  • 19) 0,926 158 605 352 96 × 2 = 1 + 0,852 317 210 705 92;
  • 20) 0,852 317 210 705 92 × 2 = 1 + 0,704 634 421 411 84;
  • 21) 0,704 634 421 411 84 × 2 = 1 + 0,409 268 842 823 68;
  • 22) 0,409 268 842 823 68 × 2 = 0 + 0,818 537 685 647 36;
  • 23) 0,818 537 685 647 36 × 2 = 1 + 0,637 075 371 294 72;
  • 24) 0,637 075 371 294 72 × 2 = 1 + 0,274 150 742 589 44;
  • 25) 0,274 150 742 589 44 × 2 = 0 + 0,548 301 485 178 88;
  • 26) 0,548 301 485 178 88 × 2 = 1 + 0,096 602 970 357 76;
  • 27) 0,096 602 970 357 76 × 2 = 0 + 0,193 205 940 715 52;
  • 28) 0,193 205 940 715 52 × 2 = 0 + 0,386 411 881 431 04;
  • 29) 0,386 411 881 431 04 × 2 = 0 + 0,772 823 762 862 08;
  • 30) 0,772 823 762 862 08 × 2 = 1 + 0,545 647 525 724 16;
  • 31) 0,545 647 525 724 16 × 2 = 1 + 0,091 295 051 448 32;
  • 32) 0,091 295 051 448 32 × 2 = 0 + 0,182 590 102 896 64;
  • 33) 0,182 590 102 896 64 × 2 = 0 + 0,365 180 205 793 28;
  • 34) 0,365 180 205 793 28 × 2 = 0 + 0,730 360 411 586 56;
  • 35) 0,730 360 411 586 56 × 2 = 1 + 0,460 720 823 173 12;
  • 36) 0,460 720 823 173 12 × 2 = 0 + 0,921 441 646 346 24;
  • 37) 0,921 441 646 346 24 × 2 = 1 + 0,842 883 292 692 48;
  • 38) 0,842 883 292 692 48 × 2 = 1 + 0,685 766 585 384 96;
  • 39) 0,685 766 585 384 96 × 2 = 1 + 0,371 533 170 769 92;
  • 40) 0,371 533 170 769 92 × 2 = 0 + 0,743 066 341 539 84;
  • 41) 0,743 066 341 539 84 × 2 = 1 + 0,486 132 683 079 68;
  • 42) 0,486 132 683 079 68 × 2 = 0 + 0,972 265 366 159 36;
  • 43) 0,972 265 366 159 36 × 2 = 1 + 0,944 530 732 318 72;
  • 44) 0,944 530 732 318 72 × 2 = 1 + 0,889 061 464 637 44;
  • 45) 0,889 061 464 637 44 × 2 = 1 + 0,778 122 929 274 88;
  • 46) 0,778 122 929 274 88 × 2 = 1 + 0,556 245 858 549 76;
  • 47) 0,556 245 858 549 76 × 2 = 1 + 0,112 491 717 099 52;
  • 48) 0,112 491 717 099 52 × 2 = 0 + 0,224 983 434 199 04;
  • 49) 0,224 983 434 199 04 × 2 = 0 + 0,449 966 868 398 08;
  • 50) 0,449 966 868 398 08 × 2 = 0 + 0,899 933 736 796 16;
  • 51) 0,899 933 736 796 16 × 2 = 1 + 0,799 867 473 592 32;
  • 52) 0,799 867 473 592 32 × 2 = 1 + 0,599 734 947 184 64;
  • 53) 0,599 734 947 184 64 × 2 = 1 + 0,199 469 894 369 28;
  • 54) 0,199 469 894 369 28 × 2 = 0 + 0,398 939 788 738 56;
  • 55) 0,398 939 788 738 56 × 2 = 0 + 0,797 879 577 477 12;
  • 56) 0,797 879 577 477 12 × 2 = 1 + 0,595 759 154 954 24;
  • 57) 0,595 759 154 954 24 × 2 = 1 + 0,191 518 309 908 48;
  • 58) 0,191 518 309 908 48 × 2 = 0 + 0,383 036 619 816 96;
  • 59) 0,383 036 619 816 96 × 2 = 0 + 0,766 073 239 633 92;
  • 60) 0,766 073 239 633 92 × 2 = 1 + 0,532 146 479 267 84;
  • 61) 0,532 146 479 267 84 × 2 = 1 + 0,064 292 958 535 68;
  • 62) 0,064 292 958 535 68 × 2 = 0 + 0,128 585 917 071 36;
  • 63) 0,128 585 917 071 36 × 2 = 0 + 0,257 171 834 142 72;
  • 64) 0,257 171 834 142 72 × 2 = 0 + 0,514 343 668 285 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 09 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1110 0011 1001 1001 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 59 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100