-0,000 282 005 915 59 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 59(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 59(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 59| = 0,000 282 005 915 59


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 59.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 59 × 2 = 0 + 0,000 564 011 831 18;
  • 2) 0,000 564 011 831 18 × 2 = 0 + 0,001 128 023 662 36;
  • 3) 0,001 128 023 662 36 × 2 = 0 + 0,002 256 047 324 72;
  • 4) 0,002 256 047 324 72 × 2 = 0 + 0,004 512 094 649 44;
  • 5) 0,004 512 094 649 44 × 2 = 0 + 0,009 024 189 298 88;
  • 6) 0,009 024 189 298 88 × 2 = 0 + 0,018 048 378 597 76;
  • 7) 0,018 048 378 597 76 × 2 = 0 + 0,036 096 757 195 52;
  • 8) 0,036 096 757 195 52 × 2 = 0 + 0,072 193 514 391 04;
  • 9) 0,072 193 514 391 04 × 2 = 0 + 0,144 387 028 782 08;
  • 10) 0,144 387 028 782 08 × 2 = 0 + 0,288 774 057 564 16;
  • 11) 0,288 774 057 564 16 × 2 = 0 + 0,577 548 115 128 32;
  • 12) 0,577 548 115 128 32 × 2 = 1 + 0,155 096 230 256 64;
  • 13) 0,155 096 230 256 64 × 2 = 0 + 0,310 192 460 513 28;
  • 14) 0,310 192 460 513 28 × 2 = 0 + 0,620 384 921 026 56;
  • 15) 0,620 384 921 026 56 × 2 = 1 + 0,240 769 842 053 12;
  • 16) 0,240 769 842 053 12 × 2 = 0 + 0,481 539 684 106 24;
  • 17) 0,481 539 684 106 24 × 2 = 0 + 0,963 079 368 212 48;
  • 18) 0,963 079 368 212 48 × 2 = 1 + 0,926 158 736 424 96;
  • 19) 0,926 158 736 424 96 × 2 = 1 + 0,852 317 472 849 92;
  • 20) 0,852 317 472 849 92 × 2 = 1 + 0,704 634 945 699 84;
  • 21) 0,704 634 945 699 84 × 2 = 1 + 0,409 269 891 399 68;
  • 22) 0,409 269 891 399 68 × 2 = 0 + 0,818 539 782 799 36;
  • 23) 0,818 539 782 799 36 × 2 = 1 + 0,637 079 565 598 72;
  • 24) 0,637 079 565 598 72 × 2 = 1 + 0,274 159 131 197 44;
  • 25) 0,274 159 131 197 44 × 2 = 0 + 0,548 318 262 394 88;
  • 26) 0,548 318 262 394 88 × 2 = 1 + 0,096 636 524 789 76;
  • 27) 0,096 636 524 789 76 × 2 = 0 + 0,193 273 049 579 52;
  • 28) 0,193 273 049 579 52 × 2 = 0 + 0,386 546 099 159 04;
  • 29) 0,386 546 099 159 04 × 2 = 0 + 0,773 092 198 318 08;
  • 30) 0,773 092 198 318 08 × 2 = 1 + 0,546 184 396 636 16;
  • 31) 0,546 184 396 636 16 × 2 = 1 + 0,092 368 793 272 32;
  • 32) 0,092 368 793 272 32 × 2 = 0 + 0,184 737 586 544 64;
  • 33) 0,184 737 586 544 64 × 2 = 0 + 0,369 475 173 089 28;
  • 34) 0,369 475 173 089 28 × 2 = 0 + 0,738 950 346 178 56;
  • 35) 0,738 950 346 178 56 × 2 = 1 + 0,477 900 692 357 12;
  • 36) 0,477 900 692 357 12 × 2 = 0 + 0,955 801 384 714 24;
  • 37) 0,955 801 384 714 24 × 2 = 1 + 0,911 602 769 428 48;
  • 38) 0,911 602 769 428 48 × 2 = 1 + 0,823 205 538 856 96;
  • 39) 0,823 205 538 856 96 × 2 = 1 + 0,646 411 077 713 92;
  • 40) 0,646 411 077 713 92 × 2 = 1 + 0,292 822 155 427 84;
  • 41) 0,292 822 155 427 84 × 2 = 0 + 0,585 644 310 855 68;
  • 42) 0,585 644 310 855 68 × 2 = 1 + 0,171 288 621 711 36;
  • 43) 0,171 288 621 711 36 × 2 = 0 + 0,342 577 243 422 72;
  • 44) 0,342 577 243 422 72 × 2 = 0 + 0,685 154 486 845 44;
  • 45) 0,685 154 486 845 44 × 2 = 1 + 0,370 308 973 690 88;
  • 46) 0,370 308 973 690 88 × 2 = 0 + 0,740 617 947 381 76;
  • 47) 0,740 617 947 381 76 × 2 = 1 + 0,481 235 894 763 52;
  • 48) 0,481 235 894 763 52 × 2 = 0 + 0,962 471 789 527 04;
  • 49) 0,962 471 789 527 04 × 2 = 1 + 0,924 943 579 054 08;
  • 50) 0,924 943 579 054 08 × 2 = 1 + 0,849 887 158 108 16;
  • 51) 0,849 887 158 108 16 × 2 = 1 + 0,699 774 316 216 32;
  • 52) 0,699 774 316 216 32 × 2 = 1 + 0,399 548 632 432 64;
  • 53) 0,399 548 632 432 64 × 2 = 0 + 0,799 097 264 865 28;
  • 54) 0,799 097 264 865 28 × 2 = 1 + 0,598 194 529 730 56;
  • 55) 0,598 194 529 730 56 × 2 = 1 + 0,196 389 059 461 12;
  • 56) 0,196 389 059 461 12 × 2 = 0 + 0,392 778 118 922 24;
  • 57) 0,392 778 118 922 24 × 2 = 0 + 0,785 556 237 844 48;
  • 58) 0,785 556 237 844 48 × 2 = 1 + 0,571 112 475 688 96;
  • 59) 0,571 112 475 688 96 × 2 = 1 + 0,142 224 951 377 92;
  • 60) 0,142 224 951 377 92 × 2 = 0 + 0,284 449 902 755 84;
  • 61) 0,284 449 902 755 84 × 2 = 0 + 0,568 899 805 511 68;
  • 62) 0,568 899 805 511 68 × 2 = 1 + 0,137 799 611 023 36;
  • 63) 0,137 799 611 023 36 × 2 = 0 + 0,275 599 222 046 72;
  • 64) 0,275 599 222 046 72 × 2 = 0 + 0,551 198 444 093 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 59(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 59(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 59(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 59 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0100 1010 1111 0110 0110 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 17 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100