-0,000 282 005 915 23 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 23(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 23(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 23| = 0,000 282 005 915 23


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 23.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 23 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 46;
  • 2) 0,000 564 011 830 46 × 2 = 0 + 0,001 128 023 660 92;
  • 3) 0,001 128 023 660 92 × 2 = 0 + 0,002 256 047 321 84;
  • 4) 0,002 256 047 321 84 × 2 = 0 + 0,004 512 094 643 68;
  • 5) 0,004 512 094 643 68 × 2 = 0 + 0,009 024 189 287 36;
  • 6) 0,009 024 189 287 36 × 2 = 0 + 0,018 048 378 574 72;
  • 7) 0,018 048 378 574 72 × 2 = 0 + 0,036 096 757 149 44;
  • 8) 0,036 096 757 149 44 × 2 = 0 + 0,072 193 514 298 88;
  • 9) 0,072 193 514 298 88 × 2 = 0 + 0,144 387 028 597 76;
  • 10) 0,144 387 028 597 76 × 2 = 0 + 0,288 774 057 195 52;
  • 11) 0,288 774 057 195 52 × 2 = 0 + 0,577 548 114 391 04;
  • 12) 0,577 548 114 391 04 × 2 = 1 + 0,155 096 228 782 08;
  • 13) 0,155 096 228 782 08 × 2 = 0 + 0,310 192 457 564 16;
  • 14) 0,310 192 457 564 16 × 2 = 0 + 0,620 384 915 128 32;
  • 15) 0,620 384 915 128 32 × 2 = 1 + 0,240 769 830 256 64;
  • 16) 0,240 769 830 256 64 × 2 = 0 + 0,481 539 660 513 28;
  • 17) 0,481 539 660 513 28 × 2 = 0 + 0,963 079 321 026 56;
  • 18) 0,963 079 321 026 56 × 2 = 1 + 0,926 158 642 053 12;
  • 19) 0,926 158 642 053 12 × 2 = 1 + 0,852 317 284 106 24;
  • 20) 0,852 317 284 106 24 × 2 = 1 + 0,704 634 568 212 48;
  • 21) 0,704 634 568 212 48 × 2 = 1 + 0,409 269 136 424 96;
  • 22) 0,409 269 136 424 96 × 2 = 0 + 0,818 538 272 849 92;
  • 23) 0,818 538 272 849 92 × 2 = 1 + 0,637 076 545 699 84;
  • 24) 0,637 076 545 699 84 × 2 = 1 + 0,274 153 091 399 68;
  • 25) 0,274 153 091 399 68 × 2 = 0 + 0,548 306 182 799 36;
  • 26) 0,548 306 182 799 36 × 2 = 1 + 0,096 612 365 598 72;
  • 27) 0,096 612 365 598 72 × 2 = 0 + 0,193 224 731 197 44;
  • 28) 0,193 224 731 197 44 × 2 = 0 + 0,386 449 462 394 88;
  • 29) 0,386 449 462 394 88 × 2 = 0 + 0,772 898 924 789 76;
  • 30) 0,772 898 924 789 76 × 2 = 1 + 0,545 797 849 579 52;
  • 31) 0,545 797 849 579 52 × 2 = 1 + 0,091 595 699 159 04;
  • 32) 0,091 595 699 159 04 × 2 = 0 + 0,183 191 398 318 08;
  • 33) 0,183 191 398 318 08 × 2 = 0 + 0,366 382 796 636 16;
  • 34) 0,366 382 796 636 16 × 2 = 0 + 0,732 765 593 272 32;
  • 35) 0,732 765 593 272 32 × 2 = 1 + 0,465 531 186 544 64;
  • 36) 0,465 531 186 544 64 × 2 = 0 + 0,931 062 373 089 28;
  • 37) 0,931 062 373 089 28 × 2 = 1 + 0,862 124 746 178 56;
  • 38) 0,862 124 746 178 56 × 2 = 1 + 0,724 249 492 357 12;
  • 39) 0,724 249 492 357 12 × 2 = 1 + 0,448 498 984 714 24;
  • 40) 0,448 498 984 714 24 × 2 = 0 + 0,896 997 969 428 48;
  • 41) 0,896 997 969 428 48 × 2 = 1 + 0,793 995 938 856 96;
  • 42) 0,793 995 938 856 96 × 2 = 1 + 0,587 991 877 713 92;
  • 43) 0,587 991 877 713 92 × 2 = 1 + 0,175 983 755 427 84;
  • 44) 0,175 983 755 427 84 × 2 = 0 + 0,351 967 510 855 68;
  • 45) 0,351 967 510 855 68 × 2 = 0 + 0,703 935 021 711 36;
  • 46) 0,703 935 021 711 36 × 2 = 1 + 0,407 870 043 422 72;
  • 47) 0,407 870 043 422 72 × 2 = 0 + 0,815 740 086 845 44;
  • 48) 0,815 740 086 845 44 × 2 = 1 + 0,631 480 173 690 88;
  • 49) 0,631 480 173 690 88 × 2 = 1 + 0,262 960 347 381 76;
  • 50) 0,262 960 347 381 76 × 2 = 0 + 0,525 920 694 763 52;
  • 51) 0,525 920 694 763 52 × 2 = 1 + 0,051 841 389 527 04;
  • 52) 0,051 841 389 527 04 × 2 = 0 + 0,103 682 779 054 08;
  • 53) 0,103 682 779 054 08 × 2 = 0 + 0,207 365 558 108 16;
  • 54) 0,207 365 558 108 16 × 2 = 0 + 0,414 731 116 216 32;
  • 55) 0,414 731 116 216 32 × 2 = 0 + 0,829 462 232 432 64;
  • 56) 0,829 462 232 432 64 × 2 = 1 + 0,658 924 464 865 28;
  • 57) 0,658 924 464 865 28 × 2 = 1 + 0,317 848 929 730 56;
  • 58) 0,317 848 929 730 56 × 2 = 0 + 0,635 697 859 461 12;
  • 59) 0,635 697 859 461 12 × 2 = 1 + 0,271 395 718 922 24;
  • 60) 0,271 395 718 922 24 × 2 = 0 + 0,542 791 437 844 48;
  • 61) 0,542 791 437 844 48 × 2 = 1 + 0,085 582 875 688 96;
  • 62) 0,085 582 875 688 96 × 2 = 0 + 0,171 165 751 377 92;
  • 63) 0,171 165 751 377 92 × 2 = 0 + 0,342 331 502 755 84;
  • 64) 0,342 331 502 755 84 × 2 = 0 + 0,684 663 005 511 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 23 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1110 0101 1010 0001 1010 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 86 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100