-0,000 282 005 915 44 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 44(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 44(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 44| = 0,000 282 005 915 44


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 44.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 44 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 88;
  • 2) 0,000 564 011 830 88 × 2 = 0 + 0,001 128 023 661 76;
  • 3) 0,001 128 023 661 76 × 2 = 0 + 0,002 256 047 323 52;
  • 4) 0,002 256 047 323 52 × 2 = 0 + 0,004 512 094 647 04;
  • 5) 0,004 512 094 647 04 × 2 = 0 + 0,009 024 189 294 08;
  • 6) 0,009 024 189 294 08 × 2 = 0 + 0,018 048 378 588 16;
  • 7) 0,018 048 378 588 16 × 2 = 0 + 0,036 096 757 176 32;
  • 8) 0,036 096 757 176 32 × 2 = 0 + 0,072 193 514 352 64;
  • 9) 0,072 193 514 352 64 × 2 = 0 + 0,144 387 028 705 28;
  • 10) 0,144 387 028 705 28 × 2 = 0 + 0,288 774 057 410 56;
  • 11) 0,288 774 057 410 56 × 2 = 0 + 0,577 548 114 821 12;
  • 12) 0,577 548 114 821 12 × 2 = 1 + 0,155 096 229 642 24;
  • 13) 0,155 096 229 642 24 × 2 = 0 + 0,310 192 459 284 48;
  • 14) 0,310 192 459 284 48 × 2 = 0 + 0,620 384 918 568 96;
  • 15) 0,620 384 918 568 96 × 2 = 1 + 0,240 769 837 137 92;
  • 16) 0,240 769 837 137 92 × 2 = 0 + 0,481 539 674 275 84;
  • 17) 0,481 539 674 275 84 × 2 = 0 + 0,963 079 348 551 68;
  • 18) 0,963 079 348 551 68 × 2 = 1 + 0,926 158 697 103 36;
  • 19) 0,926 158 697 103 36 × 2 = 1 + 0,852 317 394 206 72;
  • 20) 0,852 317 394 206 72 × 2 = 1 + 0,704 634 788 413 44;
  • 21) 0,704 634 788 413 44 × 2 = 1 + 0,409 269 576 826 88;
  • 22) 0,409 269 576 826 88 × 2 = 0 + 0,818 539 153 653 76;
  • 23) 0,818 539 153 653 76 × 2 = 1 + 0,637 078 307 307 52;
  • 24) 0,637 078 307 307 52 × 2 = 1 + 0,274 156 614 615 04;
  • 25) 0,274 156 614 615 04 × 2 = 0 + 0,548 313 229 230 08;
  • 26) 0,548 313 229 230 08 × 2 = 1 + 0,096 626 458 460 16;
  • 27) 0,096 626 458 460 16 × 2 = 0 + 0,193 252 916 920 32;
  • 28) 0,193 252 916 920 32 × 2 = 0 + 0,386 505 833 840 64;
  • 29) 0,386 505 833 840 64 × 2 = 0 + 0,773 011 667 681 28;
  • 30) 0,773 011 667 681 28 × 2 = 1 + 0,546 023 335 362 56;
  • 31) 0,546 023 335 362 56 × 2 = 1 + 0,092 046 670 725 12;
  • 32) 0,092 046 670 725 12 × 2 = 0 + 0,184 093 341 450 24;
  • 33) 0,184 093 341 450 24 × 2 = 0 + 0,368 186 682 900 48;
  • 34) 0,368 186 682 900 48 × 2 = 0 + 0,736 373 365 800 96;
  • 35) 0,736 373 365 800 96 × 2 = 1 + 0,472 746 731 601 92;
  • 36) 0,472 746 731 601 92 × 2 = 0 + 0,945 493 463 203 84;
  • 37) 0,945 493 463 203 84 × 2 = 1 + 0,890 986 926 407 68;
  • 38) 0,890 986 926 407 68 × 2 = 1 + 0,781 973 852 815 36;
  • 39) 0,781 973 852 815 36 × 2 = 1 + 0,563 947 705 630 72;
  • 40) 0,563 947 705 630 72 × 2 = 1 + 0,127 895 411 261 44;
  • 41) 0,127 895 411 261 44 × 2 = 0 + 0,255 790 822 522 88;
  • 42) 0,255 790 822 522 88 × 2 = 0 + 0,511 581 645 045 76;
  • 43) 0,511 581 645 045 76 × 2 = 1 + 0,023 163 290 091 52;
  • 44) 0,023 163 290 091 52 × 2 = 0 + 0,046 326 580 183 04;
  • 45) 0,046 326 580 183 04 × 2 = 0 + 0,092 653 160 366 08;
  • 46) 0,092 653 160 366 08 × 2 = 0 + 0,185 306 320 732 16;
  • 47) 0,185 306 320 732 16 × 2 = 0 + 0,370 612 641 464 32;
  • 48) 0,370 612 641 464 32 × 2 = 0 + 0,741 225 282 928 64;
  • 49) 0,741 225 282 928 64 × 2 = 1 + 0,482 450 565 857 28;
  • 50) 0,482 450 565 857 28 × 2 = 0 + 0,964 901 131 714 56;
  • 51) 0,964 901 131 714 56 × 2 = 1 + 0,929 802 263 429 12;
  • 52) 0,929 802 263 429 12 × 2 = 1 + 0,859 604 526 858 24;
  • 53) 0,859 604 526 858 24 × 2 = 1 + 0,719 209 053 716 48;
  • 54) 0,719 209 053 716 48 × 2 = 1 + 0,438 418 107 432 96;
  • 55) 0,438 418 107 432 96 × 2 = 0 + 0,876 836 214 865 92;
  • 56) 0,876 836 214 865 92 × 2 = 1 + 0,753 672 429 731 84;
  • 57) 0,753 672 429 731 84 × 2 = 1 + 0,507 344 859 463 68;
  • 58) 0,507 344 859 463 68 × 2 = 1 + 0,014 689 718 927 36;
  • 59) 0,014 689 718 927 36 × 2 = 0 + 0,029 379 437 854 72;
  • 60) 0,029 379 437 854 72 × 2 = 0 + 0,058 758 875 709 44;
  • 61) 0,058 758 875 709 44 × 2 = 0 + 0,117 517 751 418 88;
  • 62) 0,117 517 751 418 88 × 2 = 0 + 0,235 035 502 837 76;
  • 63) 0,235 035 502 837 76 × 2 = 0 + 0,470 071 005 675 52;
  • 64) 0,470 071 005 675 52 × 2 = 0 + 0,940 142 011 351 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 44 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0010 0000 1011 1101 1100 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 18 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100