-0,000 282 005 916 18 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 18(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 18(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 18| = 0,000 282 005 916 18


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 18.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 18 × 2 = 0 + 0,000 564 011 832 36;
  • 2) 0,000 564 011 832 36 × 2 = 0 + 0,001 128 023 664 72;
  • 3) 0,001 128 023 664 72 × 2 = 0 + 0,002 256 047 329 44;
  • 4) 0,002 256 047 329 44 × 2 = 0 + 0,004 512 094 658 88;
  • 5) 0,004 512 094 658 88 × 2 = 0 + 0,009 024 189 317 76;
  • 6) 0,009 024 189 317 76 × 2 = 0 + 0,018 048 378 635 52;
  • 7) 0,018 048 378 635 52 × 2 = 0 + 0,036 096 757 271 04;
  • 8) 0,036 096 757 271 04 × 2 = 0 + 0,072 193 514 542 08;
  • 9) 0,072 193 514 542 08 × 2 = 0 + 0,144 387 029 084 16;
  • 10) 0,144 387 029 084 16 × 2 = 0 + 0,288 774 058 168 32;
  • 11) 0,288 774 058 168 32 × 2 = 0 + 0,577 548 116 336 64;
  • 12) 0,577 548 116 336 64 × 2 = 1 + 0,155 096 232 673 28;
  • 13) 0,155 096 232 673 28 × 2 = 0 + 0,310 192 465 346 56;
  • 14) 0,310 192 465 346 56 × 2 = 0 + 0,620 384 930 693 12;
  • 15) 0,620 384 930 693 12 × 2 = 1 + 0,240 769 861 386 24;
  • 16) 0,240 769 861 386 24 × 2 = 0 + 0,481 539 722 772 48;
  • 17) 0,481 539 722 772 48 × 2 = 0 + 0,963 079 445 544 96;
  • 18) 0,963 079 445 544 96 × 2 = 1 + 0,926 158 891 089 92;
  • 19) 0,926 158 891 089 92 × 2 = 1 + 0,852 317 782 179 84;
  • 20) 0,852 317 782 179 84 × 2 = 1 + 0,704 635 564 359 68;
  • 21) 0,704 635 564 359 68 × 2 = 1 + 0,409 271 128 719 36;
  • 22) 0,409 271 128 719 36 × 2 = 0 + 0,818 542 257 438 72;
  • 23) 0,818 542 257 438 72 × 2 = 1 + 0,637 084 514 877 44;
  • 24) 0,637 084 514 877 44 × 2 = 1 + 0,274 169 029 754 88;
  • 25) 0,274 169 029 754 88 × 2 = 0 + 0,548 338 059 509 76;
  • 26) 0,548 338 059 509 76 × 2 = 1 + 0,096 676 119 019 52;
  • 27) 0,096 676 119 019 52 × 2 = 0 + 0,193 352 238 039 04;
  • 28) 0,193 352 238 039 04 × 2 = 0 + 0,386 704 476 078 08;
  • 29) 0,386 704 476 078 08 × 2 = 0 + 0,773 408 952 156 16;
  • 30) 0,773 408 952 156 16 × 2 = 1 + 0,546 817 904 312 32;
  • 31) 0,546 817 904 312 32 × 2 = 1 + 0,093 635 808 624 64;
  • 32) 0,093 635 808 624 64 × 2 = 0 + 0,187 271 617 249 28;
  • 33) 0,187 271 617 249 28 × 2 = 0 + 0,374 543 234 498 56;
  • 34) 0,374 543 234 498 56 × 2 = 0 + 0,749 086 468 997 12;
  • 35) 0,749 086 468 997 12 × 2 = 1 + 0,498 172 937 994 24;
  • 36) 0,498 172 937 994 24 × 2 = 0 + 0,996 345 875 988 48;
  • 37) 0,996 345 875 988 48 × 2 = 1 + 0,992 691 751 976 96;
  • 38) 0,992 691 751 976 96 × 2 = 1 + 0,985 383 503 953 92;
  • 39) 0,985 383 503 953 92 × 2 = 1 + 0,970 767 007 907 84;
  • 40) 0,970 767 007 907 84 × 2 = 1 + 0,941 534 015 815 68;
  • 41) 0,941 534 015 815 68 × 2 = 1 + 0,883 068 031 631 36;
  • 42) 0,883 068 031 631 36 × 2 = 1 + 0,766 136 063 262 72;
  • 43) 0,766 136 063 262 72 × 2 = 1 + 0,532 272 126 525 44;
  • 44) 0,532 272 126 525 44 × 2 = 1 + 0,064 544 253 050 88;
  • 45) 0,064 544 253 050 88 × 2 = 0 + 0,129 088 506 101 76;
  • 46) 0,129 088 506 101 76 × 2 = 0 + 0,258 177 012 203 52;
  • 47) 0,258 177 012 203 52 × 2 = 0 + 0,516 354 024 407 04;
  • 48) 0,516 354 024 407 04 × 2 = 1 + 0,032 708 048 814 08;
  • 49) 0,032 708 048 814 08 × 2 = 0 + 0,065 416 097 628 16;
  • 50) 0,065 416 097 628 16 × 2 = 0 + 0,130 832 195 256 32;
  • 51) 0,130 832 195 256 32 × 2 = 0 + 0,261 664 390 512 64;
  • 52) 0,261 664 390 512 64 × 2 = 0 + 0,523 328 781 025 28;
  • 53) 0,523 328 781 025 28 × 2 = 1 + 0,046 657 562 050 56;
  • 54) 0,046 657 562 050 56 × 2 = 0 + 0,093 315 124 101 12;
  • 55) 0,093 315 124 101 12 × 2 = 0 + 0,186 630 248 202 24;
  • 56) 0,186 630 248 202 24 × 2 = 0 + 0,373 260 496 404 48;
  • 57) 0,373 260 496 404 48 × 2 = 0 + 0,746 520 992 808 96;
  • 58) 0,746 520 992 808 96 × 2 = 1 + 0,493 041 985 617 92;
  • 59) 0,493 041 985 617 92 × 2 = 0 + 0,986 083 971 235 84;
  • 60) 0,986 083 971 235 84 × 2 = 1 + 0,972 167 942 471 68;
  • 61) 0,972 167 942 471 68 × 2 = 1 + 0,944 335 884 943 36;
  • 62) 0,944 335 884 943 36 × 2 = 1 + 0,888 671 769 886 72;
  • 63) 0,888 671 769 886 72 × 2 = 1 + 0,777 343 539 773 44;
  • 64) 0,777 343 539 773 44 × 2 = 1 + 0,554 687 079 546 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 18 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1111 0001 0000 1000 0101 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 92 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100