-0,000 282 005 915 52 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 52(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 52(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 52| = 0,000 282 005 915 52


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 52.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 52 × 2 = 0 + 0,000 564 011 831 04;
  • 2) 0,000 564 011 831 04 × 2 = 0 + 0,001 128 023 662 08;
  • 3) 0,001 128 023 662 08 × 2 = 0 + 0,002 256 047 324 16;
  • 4) 0,002 256 047 324 16 × 2 = 0 + 0,004 512 094 648 32;
  • 5) 0,004 512 094 648 32 × 2 = 0 + 0,009 024 189 296 64;
  • 6) 0,009 024 189 296 64 × 2 = 0 + 0,018 048 378 593 28;
  • 7) 0,018 048 378 593 28 × 2 = 0 + 0,036 096 757 186 56;
  • 8) 0,036 096 757 186 56 × 2 = 0 + 0,072 193 514 373 12;
  • 9) 0,072 193 514 373 12 × 2 = 0 + 0,144 387 028 746 24;
  • 10) 0,144 387 028 746 24 × 2 = 0 + 0,288 774 057 492 48;
  • 11) 0,288 774 057 492 48 × 2 = 0 + 0,577 548 114 984 96;
  • 12) 0,577 548 114 984 96 × 2 = 1 + 0,155 096 229 969 92;
  • 13) 0,155 096 229 969 92 × 2 = 0 + 0,310 192 459 939 84;
  • 14) 0,310 192 459 939 84 × 2 = 0 + 0,620 384 919 879 68;
  • 15) 0,620 384 919 879 68 × 2 = 1 + 0,240 769 839 759 36;
  • 16) 0,240 769 839 759 36 × 2 = 0 + 0,481 539 679 518 72;
  • 17) 0,481 539 679 518 72 × 2 = 0 + 0,963 079 359 037 44;
  • 18) 0,963 079 359 037 44 × 2 = 1 + 0,926 158 718 074 88;
  • 19) 0,926 158 718 074 88 × 2 = 1 + 0,852 317 436 149 76;
  • 20) 0,852 317 436 149 76 × 2 = 1 + 0,704 634 872 299 52;
  • 21) 0,704 634 872 299 52 × 2 = 1 + 0,409 269 744 599 04;
  • 22) 0,409 269 744 599 04 × 2 = 0 + 0,818 539 489 198 08;
  • 23) 0,818 539 489 198 08 × 2 = 1 + 0,637 078 978 396 16;
  • 24) 0,637 078 978 396 16 × 2 = 1 + 0,274 157 956 792 32;
  • 25) 0,274 157 956 792 32 × 2 = 0 + 0,548 315 913 584 64;
  • 26) 0,548 315 913 584 64 × 2 = 1 + 0,096 631 827 169 28;
  • 27) 0,096 631 827 169 28 × 2 = 0 + 0,193 263 654 338 56;
  • 28) 0,193 263 654 338 56 × 2 = 0 + 0,386 527 308 677 12;
  • 29) 0,386 527 308 677 12 × 2 = 0 + 0,773 054 617 354 24;
  • 30) 0,773 054 617 354 24 × 2 = 1 + 0,546 109 234 708 48;
  • 31) 0,546 109 234 708 48 × 2 = 1 + 0,092 218 469 416 96;
  • 32) 0,092 218 469 416 96 × 2 = 0 + 0,184 436 938 833 92;
  • 33) 0,184 436 938 833 92 × 2 = 0 + 0,368 873 877 667 84;
  • 34) 0,368 873 877 667 84 × 2 = 0 + 0,737 747 755 335 68;
  • 35) 0,737 747 755 335 68 × 2 = 1 + 0,475 495 510 671 36;
  • 36) 0,475 495 510 671 36 × 2 = 0 + 0,950 991 021 342 72;
  • 37) 0,950 991 021 342 72 × 2 = 1 + 0,901 982 042 685 44;
  • 38) 0,901 982 042 685 44 × 2 = 1 + 0,803 964 085 370 88;
  • 39) 0,803 964 085 370 88 × 2 = 1 + 0,607 928 170 741 76;
  • 40) 0,607 928 170 741 76 × 2 = 1 + 0,215 856 341 483 52;
  • 41) 0,215 856 341 483 52 × 2 = 0 + 0,431 712 682 967 04;
  • 42) 0,431 712 682 967 04 × 2 = 0 + 0,863 425 365 934 08;
  • 43) 0,863 425 365 934 08 × 2 = 1 + 0,726 850 731 868 16;
  • 44) 0,726 850 731 868 16 × 2 = 1 + 0,453 701 463 736 32;
  • 45) 0,453 701 463 736 32 × 2 = 0 + 0,907 402 927 472 64;
  • 46) 0,907 402 927 472 64 × 2 = 1 + 0,814 805 854 945 28;
  • 47) 0,814 805 854 945 28 × 2 = 1 + 0,629 611 709 890 56;
  • 48) 0,629 611 709 890 56 × 2 = 1 + 0,259 223 419 781 12;
  • 49) 0,259 223 419 781 12 × 2 = 0 + 0,518 446 839 562 24;
  • 50) 0,518 446 839 562 24 × 2 = 1 + 0,036 893 679 124 48;
  • 51) 0,036 893 679 124 48 × 2 = 0 + 0,073 787 358 248 96;
  • 52) 0,073 787 358 248 96 × 2 = 0 + 0,147 574 716 497 92;
  • 53) 0,147 574 716 497 92 × 2 = 0 + 0,295 149 432 995 84;
  • 54) 0,295 149 432 995 84 × 2 = 0 + 0,590 298 865 991 68;
  • 55) 0,590 298 865 991 68 × 2 = 1 + 0,180 597 731 983 36;
  • 56) 0,180 597 731 983 36 × 2 = 0 + 0,361 195 463 966 72;
  • 57) 0,361 195 463 966 72 × 2 = 0 + 0,722 390 927 933 44;
  • 58) 0,722 390 927 933 44 × 2 = 1 + 0,444 781 855 866 88;
  • 59) 0,444 781 855 866 88 × 2 = 0 + 0,889 563 711 733 76;
  • 60) 0,889 563 711 733 76 × 2 = 1 + 0,779 127 423 467 52;
  • 61) 0,779 127 423 467 52 × 2 = 1 + 0,558 254 846 935 04;
  • 62) 0,558 254 846 935 04 × 2 = 1 + 0,116 509 693 870 08;
  • 63) 0,116 509 693 870 08 × 2 = 0 + 0,233 019 387 740 16;
  • 64) 0,233 019 387 740 16 × 2 = 0 + 0,466 038 775 480 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 52(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 52(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 52(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 52 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0011 0111 0100 0010 0101 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 44 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100