-0,000 282 005 915 62 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 62(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 62(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 62| = 0,000 282 005 915 62


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 62.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 62 × 2 = 0 + 0,000 564 011 831 24;
  • 2) 0,000 564 011 831 24 × 2 = 0 + 0,001 128 023 662 48;
  • 3) 0,001 128 023 662 48 × 2 = 0 + 0,002 256 047 324 96;
  • 4) 0,002 256 047 324 96 × 2 = 0 + 0,004 512 094 649 92;
  • 5) 0,004 512 094 649 92 × 2 = 0 + 0,009 024 189 299 84;
  • 6) 0,009 024 189 299 84 × 2 = 0 + 0,018 048 378 599 68;
  • 7) 0,018 048 378 599 68 × 2 = 0 + 0,036 096 757 199 36;
  • 8) 0,036 096 757 199 36 × 2 = 0 + 0,072 193 514 398 72;
  • 9) 0,072 193 514 398 72 × 2 = 0 + 0,144 387 028 797 44;
  • 10) 0,144 387 028 797 44 × 2 = 0 + 0,288 774 057 594 88;
  • 11) 0,288 774 057 594 88 × 2 = 0 + 0,577 548 115 189 76;
  • 12) 0,577 548 115 189 76 × 2 = 1 + 0,155 096 230 379 52;
  • 13) 0,155 096 230 379 52 × 2 = 0 + 0,310 192 460 759 04;
  • 14) 0,310 192 460 759 04 × 2 = 0 + 0,620 384 921 518 08;
  • 15) 0,620 384 921 518 08 × 2 = 1 + 0,240 769 843 036 16;
  • 16) 0,240 769 843 036 16 × 2 = 0 + 0,481 539 686 072 32;
  • 17) 0,481 539 686 072 32 × 2 = 0 + 0,963 079 372 144 64;
  • 18) 0,963 079 372 144 64 × 2 = 1 + 0,926 158 744 289 28;
  • 19) 0,926 158 744 289 28 × 2 = 1 + 0,852 317 488 578 56;
  • 20) 0,852 317 488 578 56 × 2 = 1 + 0,704 634 977 157 12;
  • 21) 0,704 634 977 157 12 × 2 = 1 + 0,409 269 954 314 24;
  • 22) 0,409 269 954 314 24 × 2 = 0 + 0,818 539 908 628 48;
  • 23) 0,818 539 908 628 48 × 2 = 1 + 0,637 079 817 256 96;
  • 24) 0,637 079 817 256 96 × 2 = 1 + 0,274 159 634 513 92;
  • 25) 0,274 159 634 513 92 × 2 = 0 + 0,548 319 269 027 84;
  • 26) 0,548 319 269 027 84 × 2 = 1 + 0,096 638 538 055 68;
  • 27) 0,096 638 538 055 68 × 2 = 0 + 0,193 277 076 111 36;
  • 28) 0,193 277 076 111 36 × 2 = 0 + 0,386 554 152 222 72;
  • 29) 0,386 554 152 222 72 × 2 = 0 + 0,773 108 304 445 44;
  • 30) 0,773 108 304 445 44 × 2 = 1 + 0,546 216 608 890 88;
  • 31) 0,546 216 608 890 88 × 2 = 1 + 0,092 433 217 781 76;
  • 32) 0,092 433 217 781 76 × 2 = 0 + 0,184 866 435 563 52;
  • 33) 0,184 866 435 563 52 × 2 = 0 + 0,369 732 871 127 04;
  • 34) 0,369 732 871 127 04 × 2 = 0 + 0,739 465 742 254 08;
  • 35) 0,739 465 742 254 08 × 2 = 1 + 0,478 931 484 508 16;
  • 36) 0,478 931 484 508 16 × 2 = 0 + 0,957 862 969 016 32;
  • 37) 0,957 862 969 016 32 × 2 = 1 + 0,915 725 938 032 64;
  • 38) 0,915 725 938 032 64 × 2 = 1 + 0,831 451 876 065 28;
  • 39) 0,831 451 876 065 28 × 2 = 1 + 0,662 903 752 130 56;
  • 40) 0,662 903 752 130 56 × 2 = 1 + 0,325 807 504 261 12;
  • 41) 0,325 807 504 261 12 × 2 = 0 + 0,651 615 008 522 24;
  • 42) 0,651 615 008 522 24 × 2 = 1 + 0,303 230 017 044 48;
  • 43) 0,303 230 017 044 48 × 2 = 0 + 0,606 460 034 088 96;
  • 44) 0,606 460 034 088 96 × 2 = 1 + 0,212 920 068 177 92;
  • 45) 0,212 920 068 177 92 × 2 = 0 + 0,425 840 136 355 84;
  • 46) 0,425 840 136 355 84 × 2 = 0 + 0,851 680 272 711 68;
  • 47) 0,851 680 272 711 68 × 2 = 1 + 0,703 360 545 423 36;
  • 48) 0,703 360 545 423 36 × 2 = 1 + 0,406 721 090 846 72;
  • 49) 0,406 721 090 846 72 × 2 = 0 + 0,813 442 181 693 44;
  • 50) 0,813 442 181 693 44 × 2 = 1 + 0,626 884 363 386 88;
  • 51) 0,626 884 363 386 88 × 2 = 1 + 0,253 768 726 773 76;
  • 52) 0,253 768 726 773 76 × 2 = 0 + 0,507 537 453 547 52;
  • 53) 0,507 537 453 547 52 × 2 = 1 + 0,015 074 907 095 04;
  • 54) 0,015 074 907 095 04 × 2 = 0 + 0,030 149 814 190 08;
  • 55) 0,030 149 814 190 08 × 2 = 0 + 0,060 299 628 380 16;
  • 56) 0,060 299 628 380 16 × 2 = 0 + 0,120 599 256 760 32;
  • 57) 0,120 599 256 760 32 × 2 = 0 + 0,241 198 513 520 64;
  • 58) 0,241 198 513 520 64 × 2 = 0 + 0,482 397 027 041 28;
  • 59) 0,482 397 027 041 28 × 2 = 0 + 0,964 794 054 082 56;
  • 60) 0,964 794 054 082 56 × 2 = 1 + 0,929 588 108 165 12;
  • 61) 0,929 588 108 165 12 × 2 = 1 + 0,859 176 216 330 24;
  • 62) 0,859 176 216 330 24 × 2 = 1 + 0,718 352 432 660 48;
  • 63) 0,718 352 432 660 48 × 2 = 1 + 0,436 704 865 320 96;
  • 64) 0,436 704 865 320 96 × 2 = 0 + 0,873 409 730 641 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 62 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 0101 0011 0110 1000 0001 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 23 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100