-0,000 282 005 915 82 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 82(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 82(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 82| = 0,000 282 005 915 82


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 82.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 82 × 2 = 0 + 0,000 564 011 831 64;
  • 2) 0,000 564 011 831 64 × 2 = 0 + 0,001 128 023 663 28;
  • 3) 0,001 128 023 663 28 × 2 = 0 + 0,002 256 047 326 56;
  • 4) 0,002 256 047 326 56 × 2 = 0 + 0,004 512 094 653 12;
  • 5) 0,004 512 094 653 12 × 2 = 0 + 0,009 024 189 306 24;
  • 6) 0,009 024 189 306 24 × 2 = 0 + 0,018 048 378 612 48;
  • 7) 0,018 048 378 612 48 × 2 = 0 + 0,036 096 757 224 96;
  • 8) 0,036 096 757 224 96 × 2 = 0 + 0,072 193 514 449 92;
  • 9) 0,072 193 514 449 92 × 2 = 0 + 0,144 387 028 899 84;
  • 10) 0,144 387 028 899 84 × 2 = 0 + 0,288 774 057 799 68;
  • 11) 0,288 774 057 799 68 × 2 = 0 + 0,577 548 115 599 36;
  • 12) 0,577 548 115 599 36 × 2 = 1 + 0,155 096 231 198 72;
  • 13) 0,155 096 231 198 72 × 2 = 0 + 0,310 192 462 397 44;
  • 14) 0,310 192 462 397 44 × 2 = 0 + 0,620 384 924 794 88;
  • 15) 0,620 384 924 794 88 × 2 = 1 + 0,240 769 849 589 76;
  • 16) 0,240 769 849 589 76 × 2 = 0 + 0,481 539 699 179 52;
  • 17) 0,481 539 699 179 52 × 2 = 0 + 0,963 079 398 359 04;
  • 18) 0,963 079 398 359 04 × 2 = 1 + 0,926 158 796 718 08;
  • 19) 0,926 158 796 718 08 × 2 = 1 + 0,852 317 593 436 16;
  • 20) 0,852 317 593 436 16 × 2 = 1 + 0,704 635 186 872 32;
  • 21) 0,704 635 186 872 32 × 2 = 1 + 0,409 270 373 744 64;
  • 22) 0,409 270 373 744 64 × 2 = 0 + 0,818 540 747 489 28;
  • 23) 0,818 540 747 489 28 × 2 = 1 + 0,637 081 494 978 56;
  • 24) 0,637 081 494 978 56 × 2 = 1 + 0,274 162 989 957 12;
  • 25) 0,274 162 989 957 12 × 2 = 0 + 0,548 325 979 914 24;
  • 26) 0,548 325 979 914 24 × 2 = 1 + 0,096 651 959 828 48;
  • 27) 0,096 651 959 828 48 × 2 = 0 + 0,193 303 919 656 96;
  • 28) 0,193 303 919 656 96 × 2 = 0 + 0,386 607 839 313 92;
  • 29) 0,386 607 839 313 92 × 2 = 0 + 0,773 215 678 627 84;
  • 30) 0,773 215 678 627 84 × 2 = 1 + 0,546 431 357 255 68;
  • 31) 0,546 431 357 255 68 × 2 = 1 + 0,092 862 714 511 36;
  • 32) 0,092 862 714 511 36 × 2 = 0 + 0,185 725 429 022 72;
  • 33) 0,185 725 429 022 72 × 2 = 0 + 0,371 450 858 045 44;
  • 34) 0,371 450 858 045 44 × 2 = 0 + 0,742 901 716 090 88;
  • 35) 0,742 901 716 090 88 × 2 = 1 + 0,485 803 432 181 76;
  • 36) 0,485 803 432 181 76 × 2 = 0 + 0,971 606 864 363 52;
  • 37) 0,971 606 864 363 52 × 2 = 1 + 0,943 213 728 727 04;
  • 38) 0,943 213 728 727 04 × 2 = 1 + 0,886 427 457 454 08;
  • 39) 0,886 427 457 454 08 × 2 = 1 + 0,772 854 914 908 16;
  • 40) 0,772 854 914 908 16 × 2 = 1 + 0,545 709 829 816 32;
  • 41) 0,545 709 829 816 32 × 2 = 1 + 0,091 419 659 632 64;
  • 42) 0,091 419 659 632 64 × 2 = 0 + 0,182 839 319 265 28;
  • 43) 0,182 839 319 265 28 × 2 = 0 + 0,365 678 638 530 56;
  • 44) 0,365 678 638 530 56 × 2 = 0 + 0,731 357 277 061 12;
  • 45) 0,731 357 277 061 12 × 2 = 1 + 0,462 714 554 122 24;
  • 46) 0,462 714 554 122 24 × 2 = 0 + 0,925 429 108 244 48;
  • 47) 0,925 429 108 244 48 × 2 = 1 + 0,850 858 216 488 96;
  • 48) 0,850 858 216 488 96 × 2 = 1 + 0,701 716 432 977 92;
  • 49) 0,701 716 432 977 92 × 2 = 1 + 0,403 432 865 955 84;
  • 50) 0,403 432 865 955 84 × 2 = 0 + 0,806 865 731 911 68;
  • 51) 0,806 865 731 911 68 × 2 = 1 + 0,613 731 463 823 36;
  • 52) 0,613 731 463 823 36 × 2 = 1 + 0,227 462 927 646 72;
  • 53) 0,227 462 927 646 72 × 2 = 0 + 0,454 925 855 293 44;
  • 54) 0,454 925 855 293 44 × 2 = 0 + 0,909 851 710 586 88;
  • 55) 0,909 851 710 586 88 × 2 = 1 + 0,819 703 421 173 76;
  • 56) 0,819 703 421 173 76 × 2 = 1 + 0,639 406 842 347 52;
  • 57) 0,639 406 842 347 52 × 2 = 1 + 0,278 813 684 695 04;
  • 58) 0,278 813 684 695 04 × 2 = 0 + 0,557 627 369 390 08;
  • 59) 0,557 627 369 390 08 × 2 = 1 + 0,115 254 738 780 16;
  • 60) 0,115 254 738 780 16 × 2 = 0 + 0,230 509 477 560 32;
  • 61) 0,230 509 477 560 32 × 2 = 0 + 0,461 018 955 120 64;
  • 62) 0,461 018 955 120 64 × 2 = 0 + 0,922 037 910 241 28;
  • 63) 0,922 037 910 241 28 × 2 = 1 + 0,844 075 820 482 56;
  • 64) 0,844 075 820 482 56 × 2 = 1 + 0,688 151 640 965 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 82(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 82(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 82(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 82 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1000 1011 1011 0011 1010 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100