-0,000 282 005 916 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 3| = 0,000 282 005 916 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 832 6;
  • 2) 0,000 564 011 832 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 665 2;
  • 3) 0,001 128 023 665 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 330 4;
  • 4) 0,002 256 047 330 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 660 8;
  • 5) 0,004 512 094 660 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 321 6;
  • 6) 0,009 024 189 321 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 643 2;
  • 7) 0,018 048 378 643 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 286 4;
  • 8) 0,036 096 757 286 4 × 2 = 0 + 0,072 193 514 572 8;
  • 9) 0,072 193 514 572 8 × 2 = 0 + 0,144 387 029 145 6;
  • 10) 0,144 387 029 145 6 × 2 = 0 + 0,288 774 058 291 2;
  • 11) 0,288 774 058 291 2 × 2 = 0 + 0,577 548 116 582 4;
  • 12) 0,577 548 116 582 4 × 2 = 1 + 0,155 096 233 164 8;
  • 13) 0,155 096 233 164 8 × 2 = 0 + 0,310 192 466 329 6;
  • 14) 0,310 192 466 329 6 × 2 = 0 + 0,620 384 932 659 2;
  • 15) 0,620 384 932 659 2 × 2 = 1 + 0,240 769 865 318 4;
  • 16) 0,240 769 865 318 4 × 2 = 0 + 0,481 539 730 636 8;
  • 17) 0,481 539 730 636 8 × 2 = 0 + 0,963 079 461 273 6;
  • 18) 0,963 079 461 273 6 × 2 = 1 + 0,926 158 922 547 2;
  • 19) 0,926 158 922 547 2 × 2 = 1 + 0,852 317 845 094 4;
  • 20) 0,852 317 845 094 4 × 2 = 1 + 0,704 635 690 188 8;
  • 21) 0,704 635 690 188 8 × 2 = 1 + 0,409 271 380 377 6;
  • 22) 0,409 271 380 377 6 × 2 = 0 + 0,818 542 760 755 2;
  • 23) 0,818 542 760 755 2 × 2 = 1 + 0,637 085 521 510 4;
  • 24) 0,637 085 521 510 4 × 2 = 1 + 0,274 171 043 020 8;
  • 25) 0,274 171 043 020 8 × 2 = 0 + 0,548 342 086 041 6;
  • 26) 0,548 342 086 041 6 × 2 = 1 + 0,096 684 172 083 2;
  • 27) 0,096 684 172 083 2 × 2 = 0 + 0,193 368 344 166 4;
  • 28) 0,193 368 344 166 4 × 2 = 0 + 0,386 736 688 332 8;
  • 29) 0,386 736 688 332 8 × 2 = 0 + 0,773 473 376 665 6;
  • 30) 0,773 473 376 665 6 × 2 = 1 + 0,546 946 753 331 2;
  • 31) 0,546 946 753 331 2 × 2 = 1 + 0,093 893 506 662 4;
  • 32) 0,093 893 506 662 4 × 2 = 0 + 0,187 787 013 324 8;
  • 33) 0,187 787 013 324 8 × 2 = 0 + 0,375 574 026 649 6;
  • 34) 0,375 574 026 649 6 × 2 = 0 + 0,751 148 053 299 2;
  • 35) 0,751 148 053 299 2 × 2 = 1 + 0,502 296 106 598 4;
  • 36) 0,502 296 106 598 4 × 2 = 1 + 0,004 592 213 196 8;
  • 37) 0,004 592 213 196 8 × 2 = 0 + 0,009 184 426 393 6;
  • 38) 0,009 184 426 393 6 × 2 = 0 + 0,018 368 852 787 2;
  • 39) 0,018 368 852 787 2 × 2 = 0 + 0,036 737 705 574 4;
  • 40) 0,036 737 705 574 4 × 2 = 0 + 0,073 475 411 148 8;
  • 41) 0,073 475 411 148 8 × 2 = 0 + 0,146 950 822 297 6;
  • 42) 0,146 950 822 297 6 × 2 = 0 + 0,293 901 644 595 2;
  • 43) 0,293 901 644 595 2 × 2 = 0 + 0,587 803 289 190 4;
  • 44) 0,587 803 289 190 4 × 2 = 1 + 0,175 606 578 380 8;
  • 45) 0,175 606 578 380 8 × 2 = 0 + 0,351 213 156 761 6;
  • 46) 0,351 213 156 761 6 × 2 = 0 + 0,702 426 313 523 2;
  • 47) 0,702 426 313 523 2 × 2 = 1 + 0,404 852 627 046 4;
  • 48) 0,404 852 627 046 4 × 2 = 0 + 0,809 705 254 092 8;
  • 49) 0,809 705 254 092 8 × 2 = 1 + 0,619 410 508 185 6;
  • 50) 0,619 410 508 185 6 × 2 = 1 + 0,238 821 016 371 2;
  • 51) 0,238 821 016 371 2 × 2 = 0 + 0,477 642 032 742 4;
  • 52) 0,477 642 032 742 4 × 2 = 0 + 0,955 284 065 484 8;
  • 53) 0,955 284 065 484 8 × 2 = 1 + 0,910 568 130 969 6;
  • 54) 0,910 568 130 969 6 × 2 = 1 + 0,821 136 261 939 2;
  • 55) 0,821 136 261 939 2 × 2 = 1 + 0,642 272 523 878 4;
  • 56) 0,642 272 523 878 4 × 2 = 1 + 0,284 545 047 756 8;
  • 57) 0,284 545 047 756 8 × 2 = 0 + 0,569 090 095 513 6;
  • 58) 0,569 090 095 513 6 × 2 = 1 + 0,138 180 191 027 2;
  • 59) 0,138 180 191 027 2 × 2 = 0 + 0,276 360 382 054 4;
  • 60) 0,276 360 382 054 4 × 2 = 0 + 0,552 720 764 108 8;
  • 61) 0,552 720 764 108 8 × 2 = 1 + 0,105 441 528 217 6;
  • 62) 0,105 441 528 217 6 × 2 = 0 + 0,210 883 056 435 2;
  • 63) 0,210 883 056 435 2 × 2 = 0 + 0,421 766 112 870 4;
  • 64) 0,421 766 112 870 4 × 2 = 0 + 0,843 532 225 740 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0001 0010 1100 1111 0100 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 909 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100