-0,000 282 005 916 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 9| = 0,000 282 005 916 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 833 8;
  • 2) 0,000 564 011 833 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 667 6;
  • 3) 0,001 128 023 667 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 335 2;
  • 4) 0,002 256 047 335 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 670 4;
  • 5) 0,004 512 094 670 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 340 8;
  • 6) 0,009 024 189 340 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 681 6;
  • 7) 0,018 048 378 681 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 363 2;
  • 8) 0,036 096 757 363 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 726 4;
  • 9) 0,072 193 514 726 4 × 2 = 0 + 0,144 387 029 452 8;
  • 10) 0,144 387 029 452 8 × 2 = 0 + 0,288 774 058 905 6;
  • 11) 0,288 774 058 905 6 × 2 = 0 + 0,577 548 117 811 2;
  • 12) 0,577 548 117 811 2 × 2 = 1 + 0,155 096 235 622 4;
  • 13) 0,155 096 235 622 4 × 2 = 0 + 0,310 192 471 244 8;
  • 14) 0,310 192 471 244 8 × 2 = 0 + 0,620 384 942 489 6;
  • 15) 0,620 384 942 489 6 × 2 = 1 + 0,240 769 884 979 2;
  • 16) 0,240 769 884 979 2 × 2 = 0 + 0,481 539 769 958 4;
  • 17) 0,481 539 769 958 4 × 2 = 0 + 0,963 079 539 916 8;
  • 18) 0,963 079 539 916 8 × 2 = 1 + 0,926 159 079 833 6;
  • 19) 0,926 159 079 833 6 × 2 = 1 + 0,852 318 159 667 2;
  • 20) 0,852 318 159 667 2 × 2 = 1 + 0,704 636 319 334 4;
  • 21) 0,704 636 319 334 4 × 2 = 1 + 0,409 272 638 668 8;
  • 22) 0,409 272 638 668 8 × 2 = 0 + 0,818 545 277 337 6;
  • 23) 0,818 545 277 337 6 × 2 = 1 + 0,637 090 554 675 2;
  • 24) 0,637 090 554 675 2 × 2 = 1 + 0,274 181 109 350 4;
  • 25) 0,274 181 109 350 4 × 2 = 0 + 0,548 362 218 700 8;
  • 26) 0,548 362 218 700 8 × 2 = 1 + 0,096 724 437 401 6;
  • 27) 0,096 724 437 401 6 × 2 = 0 + 0,193 448 874 803 2;
  • 28) 0,193 448 874 803 2 × 2 = 0 + 0,386 897 749 606 4;
  • 29) 0,386 897 749 606 4 × 2 = 0 + 0,773 795 499 212 8;
  • 30) 0,773 795 499 212 8 × 2 = 1 + 0,547 590 998 425 6;
  • 31) 0,547 590 998 425 6 × 2 = 1 + 0,095 181 996 851 2;
  • 32) 0,095 181 996 851 2 × 2 = 0 + 0,190 363 993 702 4;
  • 33) 0,190 363 993 702 4 × 2 = 0 + 0,380 727 987 404 8;
  • 34) 0,380 727 987 404 8 × 2 = 0 + 0,761 455 974 809 6;
  • 35) 0,761 455 974 809 6 × 2 = 1 + 0,522 911 949 619 2;
  • 36) 0,522 911 949 619 2 × 2 = 1 + 0,045 823 899 238 4;
  • 37) 0,045 823 899 238 4 × 2 = 0 + 0,091 647 798 476 8;
  • 38) 0,091 647 798 476 8 × 2 = 0 + 0,183 295 596 953 6;
  • 39) 0,183 295 596 953 6 × 2 = 0 + 0,366 591 193 907 2;
  • 40) 0,366 591 193 907 2 × 2 = 0 + 0,733 182 387 814 4;
  • 41) 0,733 182 387 814 4 × 2 = 1 + 0,466 364 775 628 8;
  • 42) 0,466 364 775 628 8 × 2 = 0 + 0,932 729 551 257 6;
  • 43) 0,932 729 551 257 6 × 2 = 1 + 0,865 459 102 515 2;
  • 44) 0,865 459 102 515 2 × 2 = 1 + 0,730 918 205 030 4;
  • 45) 0,730 918 205 030 4 × 2 = 1 + 0,461 836 410 060 8;
  • 46) 0,461 836 410 060 8 × 2 = 0 + 0,923 672 820 121 6;
  • 47) 0,923 672 820 121 6 × 2 = 1 + 0,847 345 640 243 2;
  • 48) 0,847 345 640 243 2 × 2 = 1 + 0,694 691 280 486 4;
  • 49) 0,694 691 280 486 4 × 2 = 1 + 0,389 382 560 972 8;
  • 50) 0,389 382 560 972 8 × 2 = 0 + 0,778 765 121 945 6;
  • 51) 0,778 765 121 945 6 × 2 = 1 + 0,557 530 243 891 2;
  • 52) 0,557 530 243 891 2 × 2 = 1 + 0,115 060 487 782 4;
  • 53) 0,115 060 487 782 4 × 2 = 0 + 0,230 120 975 564 8;
  • 54) 0,230 120 975 564 8 × 2 = 0 + 0,460 241 951 129 6;
  • 55) 0,460 241 951 129 6 × 2 = 0 + 0,920 483 902 259 2;
  • 56) 0,920 483 902 259 2 × 2 = 1 + 0,840 967 804 518 4;
  • 57) 0,840 967 804 518 4 × 2 = 1 + 0,681 935 609 036 8;
  • 58) 0,681 935 609 036 8 × 2 = 1 + 0,363 871 218 073 6;
  • 59) 0,363 871 218 073 6 × 2 = 0 + 0,727 742 436 147 2;
  • 60) 0,727 742 436 147 2 × 2 = 1 + 0,455 484 872 294 4;
  • 61) 0,455 484 872 294 4 × 2 = 0 + 0,910 969 744 588 8;
  • 62) 0,910 969 744 588 8 × 2 = 1 + 0,821 939 489 177 6;
  • 63) 0,821 939 489 177 6 × 2 = 1 + 0,643 878 978 355 2;
  • 64) 0,643 878 978 355 2 × 2 = 1 + 0,287 757 956 710 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1011 1011 1011 0001 1101 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100