-0,000 282 005 916 94 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 94(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 94(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 94| = 0,000 282 005 916 94


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 94.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 94 × 2 = 0 + 0,000 564 011 833 88;
  • 2) 0,000 564 011 833 88 × 2 = 0 + 0,001 128 023 667 76;
  • 3) 0,001 128 023 667 76 × 2 = 0 + 0,002 256 047 335 52;
  • 4) 0,002 256 047 335 52 × 2 = 0 + 0,004 512 094 671 04;
  • 5) 0,004 512 094 671 04 × 2 = 0 + 0,009 024 189 342 08;
  • 6) 0,009 024 189 342 08 × 2 = 0 + 0,018 048 378 684 16;
  • 7) 0,018 048 378 684 16 × 2 = 0 + 0,036 096 757 368 32;
  • 8) 0,036 096 757 368 32 × 2 = 0 + 0,072 193 514 736 64;
  • 9) 0,072 193 514 736 64 × 2 = 0 + 0,144 387 029 473 28;
  • 10) 0,144 387 029 473 28 × 2 = 0 + 0,288 774 058 946 56;
  • 11) 0,288 774 058 946 56 × 2 = 0 + 0,577 548 117 893 12;
  • 12) 0,577 548 117 893 12 × 2 = 1 + 0,155 096 235 786 24;
  • 13) 0,155 096 235 786 24 × 2 = 0 + 0,310 192 471 572 48;
  • 14) 0,310 192 471 572 48 × 2 = 0 + 0,620 384 943 144 96;
  • 15) 0,620 384 943 144 96 × 2 = 1 + 0,240 769 886 289 92;
  • 16) 0,240 769 886 289 92 × 2 = 0 + 0,481 539 772 579 84;
  • 17) 0,481 539 772 579 84 × 2 = 0 + 0,963 079 545 159 68;
  • 18) 0,963 079 545 159 68 × 2 = 1 + 0,926 159 090 319 36;
  • 19) 0,926 159 090 319 36 × 2 = 1 + 0,852 318 180 638 72;
  • 20) 0,852 318 180 638 72 × 2 = 1 + 0,704 636 361 277 44;
  • 21) 0,704 636 361 277 44 × 2 = 1 + 0,409 272 722 554 88;
  • 22) 0,409 272 722 554 88 × 2 = 0 + 0,818 545 445 109 76;
  • 23) 0,818 545 445 109 76 × 2 = 1 + 0,637 090 890 219 52;
  • 24) 0,637 090 890 219 52 × 2 = 1 + 0,274 181 780 439 04;
  • 25) 0,274 181 780 439 04 × 2 = 0 + 0,548 363 560 878 08;
  • 26) 0,548 363 560 878 08 × 2 = 1 + 0,096 727 121 756 16;
  • 27) 0,096 727 121 756 16 × 2 = 0 + 0,193 454 243 512 32;
  • 28) 0,193 454 243 512 32 × 2 = 0 + 0,386 908 487 024 64;
  • 29) 0,386 908 487 024 64 × 2 = 0 + 0,773 816 974 049 28;
  • 30) 0,773 816 974 049 28 × 2 = 1 + 0,547 633 948 098 56;
  • 31) 0,547 633 948 098 56 × 2 = 1 + 0,095 267 896 197 12;
  • 32) 0,095 267 896 197 12 × 2 = 0 + 0,190 535 792 394 24;
  • 33) 0,190 535 792 394 24 × 2 = 0 + 0,381 071 584 788 48;
  • 34) 0,381 071 584 788 48 × 2 = 0 + 0,762 143 169 576 96;
  • 35) 0,762 143 169 576 96 × 2 = 1 + 0,524 286 339 153 92;
  • 36) 0,524 286 339 153 92 × 2 = 1 + 0,048 572 678 307 84;
  • 37) 0,048 572 678 307 84 × 2 = 0 + 0,097 145 356 615 68;
  • 38) 0,097 145 356 615 68 × 2 = 0 + 0,194 290 713 231 36;
  • 39) 0,194 290 713 231 36 × 2 = 0 + 0,388 581 426 462 72;
  • 40) 0,388 581 426 462 72 × 2 = 0 + 0,777 162 852 925 44;
  • 41) 0,777 162 852 925 44 × 2 = 1 + 0,554 325 705 850 88;
  • 42) 0,554 325 705 850 88 × 2 = 1 + 0,108 651 411 701 76;
  • 43) 0,108 651 411 701 76 × 2 = 0 + 0,217 302 823 403 52;
  • 44) 0,217 302 823 403 52 × 2 = 0 + 0,434 605 646 807 04;
  • 45) 0,434 605 646 807 04 × 2 = 0 + 0,869 211 293 614 08;
  • 46) 0,869 211 293 614 08 × 2 = 1 + 0,738 422 587 228 16;
  • 47) 0,738 422 587 228 16 × 2 = 1 + 0,476 845 174 456 32;
  • 48) 0,476 845 174 456 32 × 2 = 0 + 0,953 690 348 912 64;
  • 49) 0,953 690 348 912 64 × 2 = 1 + 0,907 380 697 825 28;
  • 50) 0,907 380 697 825 28 × 2 = 1 + 0,814 761 395 650 56;
  • 51) 0,814 761 395 650 56 × 2 = 1 + 0,629 522 791 301 12;
  • 52) 0,629 522 791 301 12 × 2 = 1 + 0,259 045 582 602 24;
  • 53) 0,259 045 582 602 24 × 2 = 0 + 0,518 091 165 204 48;
  • 54) 0,518 091 165 204 48 × 2 = 1 + 0,036 182 330 408 96;
  • 55) 0,036 182 330 408 96 × 2 = 0 + 0,072 364 660 817 92;
  • 56) 0,072 364 660 817 92 × 2 = 0 + 0,144 729 321 635 84;
  • 57) 0,144 729 321 635 84 × 2 = 0 + 0,289 458 643 271 68;
  • 58) 0,289 458 643 271 68 × 2 = 0 + 0,578 917 286 543 36;
  • 59) 0,578 917 286 543 36 × 2 = 1 + 0,157 834 573 086 72;
  • 60) 0,157 834 573 086 72 × 2 = 0 + 0,315 669 146 173 44;
  • 61) 0,315 669 146 173 44 × 2 = 0 + 0,631 338 292 346 88;
  • 62) 0,631 338 292 346 88 × 2 = 1 + 0,262 676 584 693 76;
  • 63) 0,262 676 584 693 76 × 2 = 0 + 0,525 353 169 387 52;
  • 64) 0,525 353 169 387 52 × 2 = 1 + 0,050 706 338 775 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 94 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0110 1111 0100 0010 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 93 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100