-0,000 282 005 917 12 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 917 12(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 917 12(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 917 12| = 0,000 282 005 917 12


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 917 12.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 917 12 × 2 = 0 + 0,000 564 011 834 24;
  • 2) 0,000 564 011 834 24 × 2 = 0 + 0,001 128 023 668 48;
  • 3) 0,001 128 023 668 48 × 2 = 0 + 0,002 256 047 336 96;
  • 4) 0,002 256 047 336 96 × 2 = 0 + 0,004 512 094 673 92;
  • 5) 0,004 512 094 673 92 × 2 = 0 + 0,009 024 189 347 84;
  • 6) 0,009 024 189 347 84 × 2 = 0 + 0,018 048 378 695 68;
  • 7) 0,018 048 378 695 68 × 2 = 0 + 0,036 096 757 391 36;
  • 8) 0,036 096 757 391 36 × 2 = 0 + 0,072 193 514 782 72;
  • 9) 0,072 193 514 782 72 × 2 = 0 + 0,144 387 029 565 44;
  • 10) 0,144 387 029 565 44 × 2 = 0 + 0,288 774 059 130 88;
  • 11) 0,288 774 059 130 88 × 2 = 0 + 0,577 548 118 261 76;
  • 12) 0,577 548 118 261 76 × 2 = 1 + 0,155 096 236 523 52;
  • 13) 0,155 096 236 523 52 × 2 = 0 + 0,310 192 473 047 04;
  • 14) 0,310 192 473 047 04 × 2 = 0 + 0,620 384 946 094 08;
  • 15) 0,620 384 946 094 08 × 2 = 1 + 0,240 769 892 188 16;
  • 16) 0,240 769 892 188 16 × 2 = 0 + 0,481 539 784 376 32;
  • 17) 0,481 539 784 376 32 × 2 = 0 + 0,963 079 568 752 64;
  • 18) 0,963 079 568 752 64 × 2 = 1 + 0,926 159 137 505 28;
  • 19) 0,926 159 137 505 28 × 2 = 1 + 0,852 318 275 010 56;
  • 20) 0,852 318 275 010 56 × 2 = 1 + 0,704 636 550 021 12;
  • 21) 0,704 636 550 021 12 × 2 = 1 + 0,409 273 100 042 24;
  • 22) 0,409 273 100 042 24 × 2 = 0 + 0,818 546 200 084 48;
  • 23) 0,818 546 200 084 48 × 2 = 1 + 0,637 092 400 168 96;
  • 24) 0,637 092 400 168 96 × 2 = 1 + 0,274 184 800 337 92;
  • 25) 0,274 184 800 337 92 × 2 = 0 + 0,548 369 600 675 84;
  • 26) 0,548 369 600 675 84 × 2 = 1 + 0,096 739 201 351 68;
  • 27) 0,096 739 201 351 68 × 2 = 0 + 0,193 478 402 703 36;
  • 28) 0,193 478 402 703 36 × 2 = 0 + 0,386 956 805 406 72;
  • 29) 0,386 956 805 406 72 × 2 = 0 + 0,773 913 610 813 44;
  • 30) 0,773 913 610 813 44 × 2 = 1 + 0,547 827 221 626 88;
  • 31) 0,547 827 221 626 88 × 2 = 1 + 0,095 654 443 253 76;
  • 32) 0,095 654 443 253 76 × 2 = 0 + 0,191 308 886 507 52;
  • 33) 0,191 308 886 507 52 × 2 = 0 + 0,382 617 773 015 04;
  • 34) 0,382 617 773 015 04 × 2 = 0 + 0,765 235 546 030 08;
  • 35) 0,765 235 546 030 08 × 2 = 1 + 0,530 471 092 060 16;
  • 36) 0,530 471 092 060 16 × 2 = 1 + 0,060 942 184 120 32;
  • 37) 0,060 942 184 120 32 × 2 = 0 + 0,121 884 368 240 64;
  • 38) 0,121 884 368 240 64 × 2 = 0 + 0,243 768 736 481 28;
  • 39) 0,243 768 736 481 28 × 2 = 0 + 0,487 537 472 962 56;
  • 40) 0,487 537 472 962 56 × 2 = 0 + 0,975 074 945 925 12;
  • 41) 0,975 074 945 925 12 × 2 = 1 + 0,950 149 891 850 24;
  • 42) 0,950 149 891 850 24 × 2 = 1 + 0,900 299 783 700 48;
  • 43) 0,900 299 783 700 48 × 2 = 1 + 0,800 599 567 400 96;
  • 44) 0,800 599 567 400 96 × 2 = 1 + 0,601 199 134 801 92;
  • 45) 0,601 199 134 801 92 × 2 = 1 + 0,202 398 269 603 84;
  • 46) 0,202 398 269 603 84 × 2 = 0 + 0,404 796 539 207 68;
  • 47) 0,404 796 539 207 68 × 2 = 0 + 0,809 593 078 415 36;
  • 48) 0,809 593 078 415 36 × 2 = 1 + 0,619 186 156 830 72;
  • 49) 0,619 186 156 830 72 × 2 = 1 + 0,238 372 313 661 44;
  • 50) 0,238 372 313 661 44 × 2 = 0 + 0,476 744 627 322 88;
  • 51) 0,476 744 627 322 88 × 2 = 0 + 0,953 489 254 645 76;
  • 52) 0,953 489 254 645 76 × 2 = 1 + 0,906 978 509 291 52;
  • 53) 0,906 978 509 291 52 × 2 = 1 + 0,813 957 018 583 04;
  • 54) 0,813 957 018 583 04 × 2 = 1 + 0,627 914 037 166 08;
  • 55) 0,627 914 037 166 08 × 2 = 1 + 0,255 828 074 332 16;
  • 56) 0,255 828 074 332 16 × 2 = 0 + 0,511 656 148 664 32;
  • 57) 0,511 656 148 664 32 × 2 = 1 + 0,023 312 297 328 64;
  • 58) 0,023 312 297 328 64 × 2 = 0 + 0,046 624 594 657 28;
  • 59) 0,046 624 594 657 28 × 2 = 0 + 0,093 249 189 314 56;
  • 60) 0,093 249 189 314 56 × 2 = 0 + 0,186 498 378 629 12;
  • 61) 0,186 498 378 629 12 × 2 = 0 + 0,372 996 757 258 24;
  • 62) 0,372 996 757 258 24 × 2 = 0 + 0,745 993 514 516 48;
  • 63) 0,745 993 514 516 48 × 2 = 1 + 0,491 987 029 032 96;
  • 64) 0,491 987 029 032 96 × 2 = 0 + 0,983 974 058 065 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 917 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 917 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 917 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 917 12 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1111 1001 1001 1110 1000 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 86 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100