-0,000 282 005 917 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 917 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 917 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 917 2| = 0,000 282 005 917 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 917 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 917 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 834 4;
  • 2) 0,000 564 011 834 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 668 8;
  • 3) 0,001 128 023 668 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 337 6;
  • 4) 0,002 256 047 337 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 675 2;
  • 5) 0,004 512 094 675 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 350 4;
  • 6) 0,009 024 189 350 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 700 8;
  • 7) 0,018 048 378 700 8 × 2 = 0 + 0,036 096 757 401 6;
  • 8) 0,036 096 757 401 6 × 2 = 0 + 0,072 193 514 803 2;
  • 9) 0,072 193 514 803 2 × 2 = 0 + 0,144 387 029 606 4;
  • 10) 0,144 387 029 606 4 × 2 = 0 + 0,288 774 059 212 8;
  • 11) 0,288 774 059 212 8 × 2 = 0 + 0,577 548 118 425 6;
  • 12) 0,577 548 118 425 6 × 2 = 1 + 0,155 096 236 851 2;
  • 13) 0,155 096 236 851 2 × 2 = 0 + 0,310 192 473 702 4;
  • 14) 0,310 192 473 702 4 × 2 = 0 + 0,620 384 947 404 8;
  • 15) 0,620 384 947 404 8 × 2 = 1 + 0,240 769 894 809 6;
  • 16) 0,240 769 894 809 6 × 2 = 0 + 0,481 539 789 619 2;
  • 17) 0,481 539 789 619 2 × 2 = 0 + 0,963 079 579 238 4;
  • 18) 0,963 079 579 238 4 × 2 = 1 + 0,926 159 158 476 8;
  • 19) 0,926 159 158 476 8 × 2 = 1 + 0,852 318 316 953 6;
  • 20) 0,852 318 316 953 6 × 2 = 1 + 0,704 636 633 907 2;
  • 21) 0,704 636 633 907 2 × 2 = 1 + 0,409 273 267 814 4;
  • 22) 0,409 273 267 814 4 × 2 = 0 + 0,818 546 535 628 8;
  • 23) 0,818 546 535 628 8 × 2 = 1 + 0,637 093 071 257 6;
  • 24) 0,637 093 071 257 6 × 2 = 1 + 0,274 186 142 515 2;
  • 25) 0,274 186 142 515 2 × 2 = 0 + 0,548 372 285 030 4;
  • 26) 0,548 372 285 030 4 × 2 = 1 + 0,096 744 570 060 8;
  • 27) 0,096 744 570 060 8 × 2 = 0 + 0,193 489 140 121 6;
  • 28) 0,193 489 140 121 6 × 2 = 0 + 0,386 978 280 243 2;
  • 29) 0,386 978 280 243 2 × 2 = 0 + 0,773 956 560 486 4;
  • 30) 0,773 956 560 486 4 × 2 = 1 + 0,547 913 120 972 8;
  • 31) 0,547 913 120 972 8 × 2 = 1 + 0,095 826 241 945 6;
  • 32) 0,095 826 241 945 6 × 2 = 0 + 0,191 652 483 891 2;
  • 33) 0,191 652 483 891 2 × 2 = 0 + 0,383 304 967 782 4;
  • 34) 0,383 304 967 782 4 × 2 = 0 + 0,766 609 935 564 8;
  • 35) 0,766 609 935 564 8 × 2 = 1 + 0,533 219 871 129 6;
  • 36) 0,533 219 871 129 6 × 2 = 1 + 0,066 439 742 259 2;
  • 37) 0,066 439 742 259 2 × 2 = 0 + 0,132 879 484 518 4;
  • 38) 0,132 879 484 518 4 × 2 = 0 + 0,265 758 969 036 8;
  • 39) 0,265 758 969 036 8 × 2 = 0 + 0,531 517 938 073 6;
  • 40) 0,531 517 938 073 6 × 2 = 1 + 0,063 035 876 147 2;
  • 41) 0,063 035 876 147 2 × 2 = 0 + 0,126 071 752 294 4;
  • 42) 0,126 071 752 294 4 × 2 = 0 + 0,252 143 504 588 8;
  • 43) 0,252 143 504 588 8 × 2 = 0 + 0,504 287 009 177 6;
  • 44) 0,504 287 009 177 6 × 2 = 1 + 0,008 574 018 355 2;
  • 45) 0,008 574 018 355 2 × 2 = 0 + 0,017 148 036 710 4;
  • 46) 0,017 148 036 710 4 × 2 = 0 + 0,034 296 073 420 8;
  • 47) 0,034 296 073 420 8 × 2 = 0 + 0,068 592 146 841 6;
  • 48) 0,068 592 146 841 6 × 2 = 0 + 0,137 184 293 683 2;
  • 49) 0,137 184 293 683 2 × 2 = 0 + 0,274 368 587 366 4;
  • 50) 0,274 368 587 366 4 × 2 = 0 + 0,548 737 174 732 8;
  • 51) 0,548 737 174 732 8 × 2 = 1 + 0,097 474 349 465 6;
  • 52) 0,097 474 349 465 6 × 2 = 0 + 0,194 948 698 931 2;
  • 53) 0,194 948 698 931 2 × 2 = 0 + 0,389 897 397 862 4;
  • 54) 0,389 897 397 862 4 × 2 = 0 + 0,779 794 795 724 8;
  • 55) 0,779 794 795 724 8 × 2 = 1 + 0,559 589 591 449 6;
  • 56) 0,559 589 591 449 6 × 2 = 1 + 0,119 179 182 899 2;
  • 57) 0,119 179 182 899 2 × 2 = 0 + 0,238 358 365 798 4;
  • 58) 0,238 358 365 798 4 × 2 = 0 + 0,476 716 731 596 8;
  • 59) 0,476 716 731 596 8 × 2 = 0 + 0,953 433 463 193 6;
  • 60) 0,953 433 463 193 6 × 2 = 1 + 0,906 866 926 387 2;
  • 61) 0,906 866 926 387 2 × 2 = 1 + 0,813 733 852 774 4;
  • 62) 0,813 733 852 774 4 × 2 = 1 + 0,627 467 705 548 8;
  • 63) 0,627 467 705 548 8 × 2 = 1 + 0,254 935 411 097 6;
  • 64) 0,254 935 411 097 6 × 2 = 0 + 0,509 870 822 195 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 917 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 917 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 917 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 917 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 0001 0000 0010 0011 0001 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100