-0,000 282 005 918 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 918 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 918 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 918 4| = 0,000 282 005 918 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 918 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 918 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 836 8;
  • 2) 0,000 564 011 836 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 673 6;
  • 3) 0,001 128 023 673 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 347 2;
  • 4) 0,002 256 047 347 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 694 4;
  • 5) 0,004 512 094 694 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 388 8;
  • 6) 0,009 024 189 388 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 777 6;
  • 7) 0,018 048 378 777 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 555 2;
  • 8) 0,036 096 757 555 2 × 2 = 0 + 0,072 193 515 110 4;
  • 9) 0,072 193 515 110 4 × 2 = 0 + 0,144 387 030 220 8;
  • 10) 0,144 387 030 220 8 × 2 = 0 + 0,288 774 060 441 6;
  • 11) 0,288 774 060 441 6 × 2 = 0 + 0,577 548 120 883 2;
  • 12) 0,577 548 120 883 2 × 2 = 1 + 0,155 096 241 766 4;
  • 13) 0,155 096 241 766 4 × 2 = 0 + 0,310 192 483 532 8;
  • 14) 0,310 192 483 532 8 × 2 = 0 + 0,620 384 967 065 6;
  • 15) 0,620 384 967 065 6 × 2 = 1 + 0,240 769 934 131 2;
  • 16) 0,240 769 934 131 2 × 2 = 0 + 0,481 539 868 262 4;
  • 17) 0,481 539 868 262 4 × 2 = 0 + 0,963 079 736 524 8;
  • 18) 0,963 079 736 524 8 × 2 = 1 + 0,926 159 473 049 6;
  • 19) 0,926 159 473 049 6 × 2 = 1 + 0,852 318 946 099 2;
  • 20) 0,852 318 946 099 2 × 2 = 1 + 0,704 637 892 198 4;
  • 21) 0,704 637 892 198 4 × 2 = 1 + 0,409 275 784 396 8;
  • 22) 0,409 275 784 396 8 × 2 = 0 + 0,818 551 568 793 6;
  • 23) 0,818 551 568 793 6 × 2 = 1 + 0,637 103 137 587 2;
  • 24) 0,637 103 137 587 2 × 2 = 1 + 0,274 206 275 174 4;
  • 25) 0,274 206 275 174 4 × 2 = 0 + 0,548 412 550 348 8;
  • 26) 0,548 412 550 348 8 × 2 = 1 + 0,096 825 100 697 6;
  • 27) 0,096 825 100 697 6 × 2 = 0 + 0,193 650 201 395 2;
  • 28) 0,193 650 201 395 2 × 2 = 0 + 0,387 300 402 790 4;
  • 29) 0,387 300 402 790 4 × 2 = 0 + 0,774 600 805 580 8;
  • 30) 0,774 600 805 580 8 × 2 = 1 + 0,549 201 611 161 6;
  • 31) 0,549 201 611 161 6 × 2 = 1 + 0,098 403 222 323 2;
  • 32) 0,098 403 222 323 2 × 2 = 0 + 0,196 806 444 646 4;
  • 33) 0,196 806 444 646 4 × 2 = 0 + 0,393 612 889 292 8;
  • 34) 0,393 612 889 292 8 × 2 = 0 + 0,787 225 778 585 6;
  • 35) 0,787 225 778 585 6 × 2 = 1 + 0,574 451 557 171 2;
  • 36) 0,574 451 557 171 2 × 2 = 1 + 0,148 903 114 342 4;
  • 37) 0,148 903 114 342 4 × 2 = 0 + 0,297 806 228 684 8;
  • 38) 0,297 806 228 684 8 × 2 = 0 + 0,595 612 457 369 6;
  • 39) 0,595 612 457 369 6 × 2 = 1 + 0,191 224 914 739 2;
  • 40) 0,191 224 914 739 2 × 2 = 0 + 0,382 449 829 478 4;
  • 41) 0,382 449 829 478 4 × 2 = 0 + 0,764 899 658 956 8;
  • 42) 0,764 899 658 956 8 × 2 = 1 + 0,529 799 317 913 6;
  • 43) 0,529 799 317 913 6 × 2 = 1 + 0,059 598 635 827 2;
  • 44) 0,059 598 635 827 2 × 2 = 0 + 0,119 197 271 654 4;
  • 45) 0,119 197 271 654 4 × 2 = 0 + 0,238 394 543 308 8;
  • 46) 0,238 394 543 308 8 × 2 = 0 + 0,476 789 086 617 6;
  • 47) 0,476 789 086 617 6 × 2 = 0 + 0,953 578 173 235 2;
  • 48) 0,953 578 173 235 2 × 2 = 1 + 0,907 156 346 470 4;
  • 49) 0,907 156 346 470 4 × 2 = 1 + 0,814 312 692 940 8;
  • 50) 0,814 312 692 940 8 × 2 = 1 + 0,628 625 385 881 6;
  • 51) 0,628 625 385 881 6 × 2 = 1 + 0,257 250 771 763 2;
  • 52) 0,257 250 771 763 2 × 2 = 0 + 0,514 501 543 526 4;
  • 53) 0,514 501 543 526 4 × 2 = 1 + 0,029 003 087 052 8;
  • 54) 0,029 003 087 052 8 × 2 = 0 + 0,058 006 174 105 6;
  • 55) 0,058 006 174 105 6 × 2 = 0 + 0,116 012 348 211 2;
  • 56) 0,116 012 348 211 2 × 2 = 0 + 0,232 024 696 422 4;
  • 57) 0,232 024 696 422 4 × 2 = 0 + 0,464 049 392 844 8;
  • 58) 0,464 049 392 844 8 × 2 = 0 + 0,928 098 785 689 6;
  • 59) 0,928 098 785 689 6 × 2 = 1 + 0,856 197 571 379 2;
  • 60) 0,856 197 571 379 2 × 2 = 1 + 0,712 395 142 758 4;
  • 61) 0,712 395 142 758 4 × 2 = 1 + 0,424 790 285 516 8;
  • 62) 0,424 790 285 516 8 × 2 = 0 + 0,849 580 571 033 6;
  • 63) 0,849 580 571 033 6 × 2 = 1 + 0,699 161 142 067 2;
  • 64) 0,699 161 142 067 2 × 2 = 1 + 0,398 322 284 134 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 918 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 918 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 918 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 918 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0110 0001 1110 1000 0011 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 922 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100