-0,000 282 005 919 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 919 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 919 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 919 3| = 0,000 282 005 919 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 919 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 919 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 838 6;
  • 2) 0,000 564 011 838 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 677 2;
  • 3) 0,001 128 023 677 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 354 4;
  • 4) 0,002 256 047 354 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 708 8;
  • 5) 0,004 512 094 708 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 417 6;
  • 6) 0,009 024 189 417 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 835 2;
  • 7) 0,018 048 378 835 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 670 4;
  • 8) 0,036 096 757 670 4 × 2 = 0 + 0,072 193 515 340 8;
  • 9) 0,072 193 515 340 8 × 2 = 0 + 0,144 387 030 681 6;
  • 10) 0,144 387 030 681 6 × 2 = 0 + 0,288 774 061 363 2;
  • 11) 0,288 774 061 363 2 × 2 = 0 + 0,577 548 122 726 4;
  • 12) 0,577 548 122 726 4 × 2 = 1 + 0,155 096 245 452 8;
  • 13) 0,155 096 245 452 8 × 2 = 0 + 0,310 192 490 905 6;
  • 14) 0,310 192 490 905 6 × 2 = 0 + 0,620 384 981 811 2;
  • 15) 0,620 384 981 811 2 × 2 = 1 + 0,240 769 963 622 4;
  • 16) 0,240 769 963 622 4 × 2 = 0 + 0,481 539 927 244 8;
  • 17) 0,481 539 927 244 8 × 2 = 0 + 0,963 079 854 489 6;
  • 18) 0,963 079 854 489 6 × 2 = 1 + 0,926 159 708 979 2;
  • 19) 0,926 159 708 979 2 × 2 = 1 + 0,852 319 417 958 4;
  • 20) 0,852 319 417 958 4 × 2 = 1 + 0,704 638 835 916 8;
  • 21) 0,704 638 835 916 8 × 2 = 1 + 0,409 277 671 833 6;
  • 22) 0,409 277 671 833 6 × 2 = 0 + 0,818 555 343 667 2;
  • 23) 0,818 555 343 667 2 × 2 = 1 + 0,637 110 687 334 4;
  • 24) 0,637 110 687 334 4 × 2 = 1 + 0,274 221 374 668 8;
  • 25) 0,274 221 374 668 8 × 2 = 0 + 0,548 442 749 337 6;
  • 26) 0,548 442 749 337 6 × 2 = 1 + 0,096 885 498 675 2;
  • 27) 0,096 885 498 675 2 × 2 = 0 + 0,193 770 997 350 4;
  • 28) 0,193 770 997 350 4 × 2 = 0 + 0,387 541 994 700 8;
  • 29) 0,387 541 994 700 8 × 2 = 0 + 0,775 083 989 401 6;
  • 30) 0,775 083 989 401 6 × 2 = 1 + 0,550 167 978 803 2;
  • 31) 0,550 167 978 803 2 × 2 = 1 + 0,100 335 957 606 4;
  • 32) 0,100 335 957 606 4 × 2 = 0 + 0,200 671 915 212 8;
  • 33) 0,200 671 915 212 8 × 2 = 0 + 0,401 343 830 425 6;
  • 34) 0,401 343 830 425 6 × 2 = 0 + 0,802 687 660 851 2;
  • 35) 0,802 687 660 851 2 × 2 = 1 + 0,605 375 321 702 4;
  • 36) 0,605 375 321 702 4 × 2 = 1 + 0,210 750 643 404 8;
  • 37) 0,210 750 643 404 8 × 2 = 0 + 0,421 501 286 809 6;
  • 38) 0,421 501 286 809 6 × 2 = 0 + 0,843 002 573 619 2;
  • 39) 0,843 002 573 619 2 × 2 = 1 + 0,686 005 147 238 4;
  • 40) 0,686 005 147 238 4 × 2 = 1 + 0,372 010 294 476 8;
  • 41) 0,372 010 294 476 8 × 2 = 0 + 0,744 020 588 953 6;
  • 42) 0,744 020 588 953 6 × 2 = 1 + 0,488 041 177 907 2;
  • 43) 0,488 041 177 907 2 × 2 = 0 + 0,976 082 355 814 4;
  • 44) 0,976 082 355 814 4 × 2 = 1 + 0,952 164 711 628 8;
  • 45) 0,952 164 711 628 8 × 2 = 1 + 0,904 329 423 257 6;
  • 46) 0,904 329 423 257 6 × 2 = 1 + 0,808 658 846 515 2;
  • 47) 0,808 658 846 515 2 × 2 = 1 + 0,617 317 693 030 4;
  • 48) 0,617 317 693 030 4 × 2 = 1 + 0,234 635 386 060 8;
  • 49) 0,234 635 386 060 8 × 2 = 0 + 0,469 270 772 121 6;
  • 50) 0,469 270 772 121 6 × 2 = 0 + 0,938 541 544 243 2;
  • 51) 0,938 541 544 243 2 × 2 = 1 + 0,877 083 088 486 4;
  • 52) 0,877 083 088 486 4 × 2 = 1 + 0,754 166 176 972 8;
  • 53) 0,754 166 176 972 8 × 2 = 1 + 0,508 332 353 945 6;
  • 54) 0,508 332 353 945 6 × 2 = 1 + 0,016 664 707 891 2;
  • 55) 0,016 664 707 891 2 × 2 = 0 + 0,033 329 415 782 4;
  • 56) 0,033 329 415 782 4 × 2 = 0 + 0,066 658 831 564 8;
  • 57) 0,066 658 831 564 8 × 2 = 0 + 0,133 317 663 129 6;
  • 58) 0,133 317 663 129 6 × 2 = 0 + 0,266 635 326 259 2;
  • 59) 0,266 635 326 259 2 × 2 = 0 + 0,533 270 652 518 4;
  • 60) 0,533 270 652 518 4 × 2 = 1 + 0,066 541 305 036 8;
  • 61) 0,066 541 305 036 8 × 2 = 0 + 0,133 082 610 073 6;
  • 62) 0,133 082 610 073 6 × 2 = 0 + 0,266 165 220 147 2;
  • 63) 0,266 165 220 147 2 × 2 = 0 + 0,532 330 440 294 4;
  • 64) 0,532 330 440 294 4 × 2 = 1 + 0,064 660 880 588 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 919 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 919 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 919 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 919 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0101 1111 0011 1100 0001 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 918 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100