-0,000 282 005 919 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 919 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 919 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 919 8| = 0,000 282 005 919 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 919 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 919 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 839 6;
  • 2) 0,000 564 011 839 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 679 2;
  • 3) 0,001 128 023 679 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 358 4;
  • 4) 0,002 256 047 358 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 716 8;
  • 5) 0,004 512 094 716 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 433 6;
  • 6) 0,009 024 189 433 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 867 2;
  • 7) 0,018 048 378 867 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 734 4;
  • 8) 0,036 096 757 734 4 × 2 = 0 + 0,072 193 515 468 8;
  • 9) 0,072 193 515 468 8 × 2 = 0 + 0,144 387 030 937 6;
  • 10) 0,144 387 030 937 6 × 2 = 0 + 0,288 774 061 875 2;
  • 11) 0,288 774 061 875 2 × 2 = 0 + 0,577 548 123 750 4;
  • 12) 0,577 548 123 750 4 × 2 = 1 + 0,155 096 247 500 8;
  • 13) 0,155 096 247 500 8 × 2 = 0 + 0,310 192 495 001 6;
  • 14) 0,310 192 495 001 6 × 2 = 0 + 0,620 384 990 003 2;
  • 15) 0,620 384 990 003 2 × 2 = 1 + 0,240 769 980 006 4;
  • 16) 0,240 769 980 006 4 × 2 = 0 + 0,481 539 960 012 8;
  • 17) 0,481 539 960 012 8 × 2 = 0 + 0,963 079 920 025 6;
  • 18) 0,963 079 920 025 6 × 2 = 1 + 0,926 159 840 051 2;
  • 19) 0,926 159 840 051 2 × 2 = 1 + 0,852 319 680 102 4;
  • 20) 0,852 319 680 102 4 × 2 = 1 + 0,704 639 360 204 8;
  • 21) 0,704 639 360 204 8 × 2 = 1 + 0,409 278 720 409 6;
  • 22) 0,409 278 720 409 6 × 2 = 0 + 0,818 557 440 819 2;
  • 23) 0,818 557 440 819 2 × 2 = 1 + 0,637 114 881 638 4;
  • 24) 0,637 114 881 638 4 × 2 = 1 + 0,274 229 763 276 8;
  • 25) 0,274 229 763 276 8 × 2 = 0 + 0,548 459 526 553 6;
  • 26) 0,548 459 526 553 6 × 2 = 1 + 0,096 919 053 107 2;
  • 27) 0,096 919 053 107 2 × 2 = 0 + 0,193 838 106 214 4;
  • 28) 0,193 838 106 214 4 × 2 = 0 + 0,387 676 212 428 8;
  • 29) 0,387 676 212 428 8 × 2 = 0 + 0,775 352 424 857 6;
  • 30) 0,775 352 424 857 6 × 2 = 1 + 0,550 704 849 715 2;
  • 31) 0,550 704 849 715 2 × 2 = 1 + 0,101 409 699 430 4;
  • 32) 0,101 409 699 430 4 × 2 = 0 + 0,202 819 398 860 8;
  • 33) 0,202 819 398 860 8 × 2 = 0 + 0,405 638 797 721 6;
  • 34) 0,405 638 797 721 6 × 2 = 0 + 0,811 277 595 443 2;
  • 35) 0,811 277 595 443 2 × 2 = 1 + 0,622 555 190 886 4;
  • 36) 0,622 555 190 886 4 × 2 = 1 + 0,245 110 381 772 8;
  • 37) 0,245 110 381 772 8 × 2 = 0 + 0,490 220 763 545 6;
  • 38) 0,490 220 763 545 6 × 2 = 0 + 0,980 441 527 091 2;
  • 39) 0,980 441 527 091 2 × 2 = 1 + 0,960 883 054 182 4;
  • 40) 0,960 883 054 182 4 × 2 = 1 + 0,921 766 108 364 8;
  • 41) 0,921 766 108 364 8 × 2 = 1 + 0,843 532 216 729 6;
  • 42) 0,843 532 216 729 6 × 2 = 1 + 0,687 064 433 459 2;
  • 43) 0,687 064 433 459 2 × 2 = 1 + 0,374 128 866 918 4;
  • 44) 0,374 128 866 918 4 × 2 = 0 + 0,748 257 733 836 8;
  • 45) 0,748 257 733 836 8 × 2 = 1 + 0,496 515 467 673 6;
  • 46) 0,496 515 467 673 6 × 2 = 0 + 0,993 030 935 347 2;
  • 47) 0,993 030 935 347 2 × 2 = 1 + 0,986 061 870 694 4;
  • 48) 0,986 061 870 694 4 × 2 = 1 + 0,972 123 741 388 8;
  • 49) 0,972 123 741 388 8 × 2 = 1 + 0,944 247 482 777 6;
  • 50) 0,944 247 482 777 6 × 2 = 1 + 0,888 494 965 555 2;
  • 51) 0,888 494 965 555 2 × 2 = 1 + 0,776 989 931 110 4;
  • 52) 0,776 989 931 110 4 × 2 = 1 + 0,553 979 862 220 8;
  • 53) 0,553 979 862 220 8 × 2 = 1 + 0,107 959 724 441 6;
  • 54) 0,107 959 724 441 6 × 2 = 0 + 0,215 919 448 883 2;
  • 55) 0,215 919 448 883 2 × 2 = 0 + 0,431 838 897 766 4;
  • 56) 0,431 838 897 766 4 × 2 = 0 + 0,863 677 795 532 8;
  • 57) 0,863 677 795 532 8 × 2 = 1 + 0,727 355 591 065 6;
  • 58) 0,727 355 591 065 6 × 2 = 1 + 0,454 711 182 131 2;
  • 59) 0,454 711 182 131 2 × 2 = 0 + 0,909 422 364 262 4;
  • 60) 0,909 422 364 262 4 × 2 = 1 + 0,818 844 728 524 8;
  • 61) 0,818 844 728 524 8 × 2 = 1 + 0,637 689 457 049 6;
  • 62) 0,637 689 457 049 6 × 2 = 1 + 0,275 378 914 099 2;
  • 63) 0,275 378 914 099 2 × 2 = 0 + 0,550 757 828 198 4;
  • 64) 0,550 757 828 198 4 × 2 = 1 + 0,101 515 656 396 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 919 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 919 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 919 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 919 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1110 1011 1111 1000 1101 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 929 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100