-0,000 282 005 929 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 929 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 929 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 929 8| = 0,000 282 005 929 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 929 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 929 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 859 6;
  • 2) 0,000 564 011 859 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 719 2;
  • 3) 0,001 128 023 719 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 438 4;
  • 4) 0,002 256 047 438 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 876 8;
  • 5) 0,004 512 094 876 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 753 6;
  • 6) 0,009 024 189 753 6 × 2 = 0 + 0,018 048 379 507 2;
  • 7) 0,018 048 379 507 2 × 2 = 0 + 0,036 096 759 014 4;
  • 8) 0,036 096 759 014 4 × 2 = 0 + 0,072 193 518 028 8;
  • 9) 0,072 193 518 028 8 × 2 = 0 + 0,144 387 036 057 6;
  • 10) 0,144 387 036 057 6 × 2 = 0 + 0,288 774 072 115 2;
  • 11) 0,288 774 072 115 2 × 2 = 0 + 0,577 548 144 230 4;
  • 12) 0,577 548 144 230 4 × 2 = 1 + 0,155 096 288 460 8;
  • 13) 0,155 096 288 460 8 × 2 = 0 + 0,310 192 576 921 6;
  • 14) 0,310 192 576 921 6 × 2 = 0 + 0,620 385 153 843 2;
  • 15) 0,620 385 153 843 2 × 2 = 1 + 0,240 770 307 686 4;
  • 16) 0,240 770 307 686 4 × 2 = 0 + 0,481 540 615 372 8;
  • 17) 0,481 540 615 372 8 × 2 = 0 + 0,963 081 230 745 6;
  • 18) 0,963 081 230 745 6 × 2 = 1 + 0,926 162 461 491 2;
  • 19) 0,926 162 461 491 2 × 2 = 1 + 0,852 324 922 982 4;
  • 20) 0,852 324 922 982 4 × 2 = 1 + 0,704 649 845 964 8;
  • 21) 0,704 649 845 964 8 × 2 = 1 + 0,409 299 691 929 6;
  • 22) 0,409 299 691 929 6 × 2 = 0 + 0,818 599 383 859 2;
  • 23) 0,818 599 383 859 2 × 2 = 1 + 0,637 198 767 718 4;
  • 24) 0,637 198 767 718 4 × 2 = 1 + 0,274 397 535 436 8;
  • 25) 0,274 397 535 436 8 × 2 = 0 + 0,548 795 070 873 6;
  • 26) 0,548 795 070 873 6 × 2 = 1 + 0,097 590 141 747 2;
  • 27) 0,097 590 141 747 2 × 2 = 0 + 0,195 180 283 494 4;
  • 28) 0,195 180 283 494 4 × 2 = 0 + 0,390 360 566 988 8;
  • 29) 0,390 360 566 988 8 × 2 = 0 + 0,780 721 133 977 6;
  • 30) 0,780 721 133 977 6 × 2 = 1 + 0,561 442 267 955 2;
  • 31) 0,561 442 267 955 2 × 2 = 1 + 0,122 884 535 910 4;
  • 32) 0,122 884 535 910 4 × 2 = 0 + 0,245 769 071 820 8;
  • 33) 0,245 769 071 820 8 × 2 = 0 + 0,491 538 143 641 6;
  • 34) 0,491 538 143 641 6 × 2 = 0 + 0,983 076 287 283 2;
  • 35) 0,983 076 287 283 2 × 2 = 1 + 0,966 152 574 566 4;
  • 36) 0,966 152 574 566 4 × 2 = 1 + 0,932 305 149 132 8;
  • 37) 0,932 305 149 132 8 × 2 = 1 + 0,864 610 298 265 6;
  • 38) 0,864 610 298 265 6 × 2 = 1 + 0,729 220 596 531 2;
  • 39) 0,729 220 596 531 2 × 2 = 1 + 0,458 441 193 062 4;
  • 40) 0,458 441 193 062 4 × 2 = 0 + 0,916 882 386 124 8;
  • 41) 0,916 882 386 124 8 × 2 = 1 + 0,833 764 772 249 6;
  • 42) 0,833 764 772 249 6 × 2 = 1 + 0,667 529 544 499 2;
  • 43) 0,667 529 544 499 2 × 2 = 1 + 0,335 059 088 998 4;
  • 44) 0,335 059 088 998 4 × 2 = 0 + 0,670 118 177 996 8;
  • 45) 0,670 118 177 996 8 × 2 = 1 + 0,340 236 355 993 6;
  • 46) 0,340 236 355 993 6 × 2 = 0 + 0,680 472 711 987 2;
  • 47) 0,680 472 711 987 2 × 2 = 1 + 0,360 945 423 974 4;
  • 48) 0,360 945 423 974 4 × 2 = 0 + 0,721 890 847 948 8;
  • 49) 0,721 890 847 948 8 × 2 = 1 + 0,443 781 695 897 6;
  • 50) 0,443 781 695 897 6 × 2 = 0 + 0,887 563 391 795 2;
  • 51) 0,887 563 391 795 2 × 2 = 1 + 0,775 126 783 590 4;
  • 52) 0,775 126 783 590 4 × 2 = 1 + 0,550 253 567 180 8;
  • 53) 0,550 253 567 180 8 × 2 = 1 + 0,100 507 134 361 6;
  • 54) 0,100 507 134 361 6 × 2 = 0 + 0,201 014 268 723 2;
  • 55) 0,201 014 268 723 2 × 2 = 0 + 0,402 028 537 446 4;
  • 56) 0,402 028 537 446 4 × 2 = 0 + 0,804 057 074 892 8;
  • 57) 0,804 057 074 892 8 × 2 = 1 + 0,608 114 149 785 6;
  • 58) 0,608 114 149 785 6 × 2 = 1 + 0,216 228 299 571 2;
  • 59) 0,216 228 299 571 2 × 2 = 0 + 0,432 456 599 142 4;
  • 60) 0,432 456 599 142 4 × 2 = 0 + 0,864 913 198 284 8;
  • 61) 0,864 913 198 284 8 × 2 = 1 + 0,729 826 396 569 6;
  • 62) 0,729 826 396 569 6 × 2 = 1 + 0,459 652 793 139 2;
  • 63) 0,459 652 793 139 2 × 2 = 0 + 0,919 305 586 278 4;
  • 64) 0,919 305 586 278 4 × 2 = 1 + 0,838 611 172 556 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 929 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 929 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 929 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 929 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 1110 1010 1011 1000 1100 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 935 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100