-0,000 282 005 920 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 920 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 920 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 920 8| = 0,000 282 005 920 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 920 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 920 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 841 6;
  • 2) 0,000 564 011 841 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 683 2;
  • 3) 0,001 128 023 683 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 366 4;
  • 4) 0,002 256 047 366 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 732 8;
  • 5) 0,004 512 094 732 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 465 6;
  • 6) 0,009 024 189 465 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 931 2;
  • 7) 0,018 048 378 931 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 862 4;
  • 8) 0,036 096 757 862 4 × 2 = 0 + 0,072 193 515 724 8;
  • 9) 0,072 193 515 724 8 × 2 = 0 + 0,144 387 031 449 6;
  • 10) 0,144 387 031 449 6 × 2 = 0 + 0,288 774 062 899 2;
  • 11) 0,288 774 062 899 2 × 2 = 0 + 0,577 548 125 798 4;
  • 12) 0,577 548 125 798 4 × 2 = 1 + 0,155 096 251 596 8;
  • 13) 0,155 096 251 596 8 × 2 = 0 + 0,310 192 503 193 6;
  • 14) 0,310 192 503 193 6 × 2 = 0 + 0,620 385 006 387 2;
  • 15) 0,620 385 006 387 2 × 2 = 1 + 0,240 770 012 774 4;
  • 16) 0,240 770 012 774 4 × 2 = 0 + 0,481 540 025 548 8;
  • 17) 0,481 540 025 548 8 × 2 = 0 + 0,963 080 051 097 6;
  • 18) 0,963 080 051 097 6 × 2 = 1 + 0,926 160 102 195 2;
  • 19) 0,926 160 102 195 2 × 2 = 1 + 0,852 320 204 390 4;
  • 20) 0,852 320 204 390 4 × 2 = 1 + 0,704 640 408 780 8;
  • 21) 0,704 640 408 780 8 × 2 = 1 + 0,409 280 817 561 6;
  • 22) 0,409 280 817 561 6 × 2 = 0 + 0,818 561 635 123 2;
  • 23) 0,818 561 635 123 2 × 2 = 1 + 0,637 123 270 246 4;
  • 24) 0,637 123 270 246 4 × 2 = 1 + 0,274 246 540 492 8;
  • 25) 0,274 246 540 492 8 × 2 = 0 + 0,548 493 080 985 6;
  • 26) 0,548 493 080 985 6 × 2 = 1 + 0,096 986 161 971 2;
  • 27) 0,096 986 161 971 2 × 2 = 0 + 0,193 972 323 942 4;
  • 28) 0,193 972 323 942 4 × 2 = 0 + 0,387 944 647 884 8;
  • 29) 0,387 944 647 884 8 × 2 = 0 + 0,775 889 295 769 6;
  • 30) 0,775 889 295 769 6 × 2 = 1 + 0,551 778 591 539 2;
  • 31) 0,551 778 591 539 2 × 2 = 1 + 0,103 557 183 078 4;
  • 32) 0,103 557 183 078 4 × 2 = 0 + 0,207 114 366 156 8;
  • 33) 0,207 114 366 156 8 × 2 = 0 + 0,414 228 732 313 6;
  • 34) 0,414 228 732 313 6 × 2 = 0 + 0,828 457 464 627 2;
  • 35) 0,828 457 464 627 2 × 2 = 1 + 0,656 914 929 254 4;
  • 36) 0,656 914 929 254 4 × 2 = 1 + 0,313 829 858 508 8;
  • 37) 0,313 829 858 508 8 × 2 = 0 + 0,627 659 717 017 6;
  • 38) 0,627 659 717 017 6 × 2 = 1 + 0,255 319 434 035 2;
  • 39) 0,255 319 434 035 2 × 2 = 0 + 0,510 638 868 070 4;
  • 40) 0,510 638 868 070 4 × 2 = 1 + 0,021 277 736 140 8;
  • 41) 0,021 277 736 140 8 × 2 = 0 + 0,042 555 472 281 6;
  • 42) 0,042 555 472 281 6 × 2 = 0 + 0,085 110 944 563 2;
  • 43) 0,085 110 944 563 2 × 2 = 0 + 0,170 221 889 126 4;
  • 44) 0,170 221 889 126 4 × 2 = 0 + 0,340 443 778 252 8;
  • 45) 0,340 443 778 252 8 × 2 = 0 + 0,680 887 556 505 6;
  • 46) 0,680 887 556 505 6 × 2 = 1 + 0,361 775 113 011 2;
  • 47) 0,361 775 113 011 2 × 2 = 0 + 0,723 550 226 022 4;
  • 48) 0,723 550 226 022 4 × 2 = 1 + 0,447 100 452 044 8;
  • 49) 0,447 100 452 044 8 × 2 = 0 + 0,894 200 904 089 6;
  • 50) 0,894 200 904 089 6 × 2 = 1 + 0,788 401 808 179 2;
  • 51) 0,788 401 808 179 2 × 2 = 1 + 0,576 803 616 358 4;
  • 52) 0,576 803 616 358 4 × 2 = 1 + 0,153 607 232 716 8;
  • 53) 0,153 607 232 716 8 × 2 = 0 + 0,307 214 465 433 6;
  • 54) 0,307 214 465 433 6 × 2 = 0 + 0,614 428 930 867 2;
  • 55) 0,614 428 930 867 2 × 2 = 1 + 0,228 857 861 734 4;
  • 56) 0,228 857 861 734 4 × 2 = 0 + 0,457 715 723 468 8;
  • 57) 0,457 715 723 468 8 × 2 = 0 + 0,915 431 446 937 6;
  • 58) 0,915 431 446 937 6 × 2 = 1 + 0,830 862 893 875 2;
  • 59) 0,830 862 893 875 2 × 2 = 1 + 0,661 725 787 750 4;
  • 60) 0,661 725 787 750 4 × 2 = 1 + 0,323 451 575 500 8;
  • 61) 0,323 451 575 500 8 × 2 = 0 + 0,646 903 151 001 6;
  • 62) 0,646 903 151 001 6 × 2 = 1 + 0,293 806 302 003 2;
  • 63) 0,293 806 302 003 2 × 2 = 0 + 0,587 612 604 006 4;
  • 64) 0,587 612 604 006 4 × 2 = 1 + 0,175 225 208 012 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 920 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 920 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 920 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 920 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 0000 0101 0111 0010 0111 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 918 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100