-0,000 282 005 921 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 921 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 921 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 921 3| = 0,000 282 005 921 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 921 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 921 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 842 6;
  • 2) 0,000 564 011 842 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 685 2;
  • 3) 0,001 128 023 685 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 370 4;
  • 4) 0,002 256 047 370 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 740 8;
  • 5) 0,004 512 094 740 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 481 6;
  • 6) 0,009 024 189 481 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 963 2;
  • 7) 0,018 048 378 963 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 926 4;
  • 8) 0,036 096 757 926 4 × 2 = 0 + 0,072 193 515 852 8;
  • 9) 0,072 193 515 852 8 × 2 = 0 + 0,144 387 031 705 6;
  • 10) 0,144 387 031 705 6 × 2 = 0 + 0,288 774 063 411 2;
  • 11) 0,288 774 063 411 2 × 2 = 0 + 0,577 548 126 822 4;
  • 12) 0,577 548 126 822 4 × 2 = 1 + 0,155 096 253 644 8;
  • 13) 0,155 096 253 644 8 × 2 = 0 + 0,310 192 507 289 6;
  • 14) 0,310 192 507 289 6 × 2 = 0 + 0,620 385 014 579 2;
  • 15) 0,620 385 014 579 2 × 2 = 1 + 0,240 770 029 158 4;
  • 16) 0,240 770 029 158 4 × 2 = 0 + 0,481 540 058 316 8;
  • 17) 0,481 540 058 316 8 × 2 = 0 + 0,963 080 116 633 6;
  • 18) 0,963 080 116 633 6 × 2 = 1 + 0,926 160 233 267 2;
  • 19) 0,926 160 233 267 2 × 2 = 1 + 0,852 320 466 534 4;
  • 20) 0,852 320 466 534 4 × 2 = 1 + 0,704 640 933 068 8;
  • 21) 0,704 640 933 068 8 × 2 = 1 + 0,409 281 866 137 6;
  • 22) 0,409 281 866 137 6 × 2 = 0 + 0,818 563 732 275 2;
  • 23) 0,818 563 732 275 2 × 2 = 1 + 0,637 127 464 550 4;
  • 24) 0,637 127 464 550 4 × 2 = 1 + 0,274 254 929 100 8;
  • 25) 0,274 254 929 100 8 × 2 = 0 + 0,548 509 858 201 6;
  • 26) 0,548 509 858 201 6 × 2 = 1 + 0,097 019 716 403 2;
  • 27) 0,097 019 716 403 2 × 2 = 0 + 0,194 039 432 806 4;
  • 28) 0,194 039 432 806 4 × 2 = 0 + 0,388 078 865 612 8;
  • 29) 0,388 078 865 612 8 × 2 = 0 + 0,776 157 731 225 6;
  • 30) 0,776 157 731 225 6 × 2 = 1 + 0,552 315 462 451 2;
  • 31) 0,552 315 462 451 2 × 2 = 1 + 0,104 630 924 902 4;
  • 32) 0,104 630 924 902 4 × 2 = 0 + 0,209 261 849 804 8;
  • 33) 0,209 261 849 804 8 × 2 = 0 + 0,418 523 699 609 6;
  • 34) 0,418 523 699 609 6 × 2 = 0 + 0,837 047 399 219 2;
  • 35) 0,837 047 399 219 2 × 2 = 1 + 0,674 094 798 438 4;
  • 36) 0,674 094 798 438 4 × 2 = 1 + 0,348 189 596 876 8;
  • 37) 0,348 189 596 876 8 × 2 = 0 + 0,696 379 193 753 6;
  • 38) 0,696 379 193 753 6 × 2 = 1 + 0,392 758 387 507 2;
  • 39) 0,392 758 387 507 2 × 2 = 0 + 0,785 516 775 014 4;
  • 40) 0,785 516 775 014 4 × 2 = 1 + 0,571 033 550 028 8;
  • 41) 0,571 033 550 028 8 × 2 = 1 + 0,142 067 100 057 6;
  • 42) 0,142 067 100 057 6 × 2 = 0 + 0,284 134 200 115 2;
  • 43) 0,284 134 200 115 2 × 2 = 0 + 0,568 268 400 230 4;
  • 44) 0,568 268 400 230 4 × 2 = 1 + 0,136 536 800 460 8;
  • 45) 0,136 536 800 460 8 × 2 = 0 + 0,273 073 600 921 6;
  • 46) 0,273 073 600 921 6 × 2 = 0 + 0,546 147 201 843 2;
  • 47) 0,546 147 201 843 2 × 2 = 1 + 0,092 294 403 686 4;
  • 48) 0,092 294 403 686 4 × 2 = 0 + 0,184 588 807 372 8;
  • 49) 0,184 588 807 372 8 × 2 = 0 + 0,369 177 614 745 6;
  • 50) 0,369 177 614 745 6 × 2 = 0 + 0,738 355 229 491 2;
  • 51) 0,738 355 229 491 2 × 2 = 1 + 0,476 710 458 982 4;
  • 52) 0,476 710 458 982 4 × 2 = 0 + 0,953 420 917 964 8;
  • 53) 0,953 420 917 964 8 × 2 = 1 + 0,906 841 835 929 6;
  • 54) 0,906 841 835 929 6 × 2 = 1 + 0,813 683 671 859 2;
  • 55) 0,813 683 671 859 2 × 2 = 1 + 0,627 367 343 718 4;
  • 56) 0,627 367 343 718 4 × 2 = 1 + 0,254 734 687 436 8;
  • 57) 0,254 734 687 436 8 × 2 = 0 + 0,509 469 374 873 6;
  • 58) 0,509 469 374 873 6 × 2 = 1 + 0,018 938 749 747 2;
  • 59) 0,018 938 749 747 2 × 2 = 0 + 0,037 877 499 494 4;
  • 60) 0,037 877 499 494 4 × 2 = 0 + 0,075 754 998 988 8;
  • 61) 0,075 754 998 988 8 × 2 = 0 + 0,151 509 997 977 6;
  • 62) 0,151 509 997 977 6 × 2 = 0 + 0,303 019 995 955 2;
  • 63) 0,303 019 995 955 2 × 2 = 0 + 0,606 039 991 910 4;
  • 64) 0,606 039 991 910 4 × 2 = 1 + 0,212 079 983 820 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 921 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 921 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 921 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 921 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0101 1001 0010 0010 1111 0100 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 919 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100