-0,000 282 005 923 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 923 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 923 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 923 2| = 0,000 282 005 923 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 923 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 923 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 846 4;
  • 2) 0,000 564 011 846 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 692 8;
  • 3) 0,001 128 023 692 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 385 6;
  • 4) 0,002 256 047 385 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 771 2;
  • 5) 0,004 512 094 771 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 542 4;
  • 6) 0,009 024 189 542 4 × 2 = 0 + 0,018 048 379 084 8;
  • 7) 0,018 048 379 084 8 × 2 = 0 + 0,036 096 758 169 6;
  • 8) 0,036 096 758 169 6 × 2 = 0 + 0,072 193 516 339 2;
  • 9) 0,072 193 516 339 2 × 2 = 0 + 0,144 387 032 678 4;
  • 10) 0,144 387 032 678 4 × 2 = 0 + 0,288 774 065 356 8;
  • 11) 0,288 774 065 356 8 × 2 = 0 + 0,577 548 130 713 6;
  • 12) 0,577 548 130 713 6 × 2 = 1 + 0,155 096 261 427 2;
  • 13) 0,155 096 261 427 2 × 2 = 0 + 0,310 192 522 854 4;
  • 14) 0,310 192 522 854 4 × 2 = 0 + 0,620 385 045 708 8;
  • 15) 0,620 385 045 708 8 × 2 = 1 + 0,240 770 091 417 6;
  • 16) 0,240 770 091 417 6 × 2 = 0 + 0,481 540 182 835 2;
  • 17) 0,481 540 182 835 2 × 2 = 0 + 0,963 080 365 670 4;
  • 18) 0,963 080 365 670 4 × 2 = 1 + 0,926 160 731 340 8;
  • 19) 0,926 160 731 340 8 × 2 = 1 + 0,852 321 462 681 6;
  • 20) 0,852 321 462 681 6 × 2 = 1 + 0,704 642 925 363 2;
  • 21) 0,704 642 925 363 2 × 2 = 1 + 0,409 285 850 726 4;
  • 22) 0,409 285 850 726 4 × 2 = 0 + 0,818 571 701 452 8;
  • 23) 0,818 571 701 452 8 × 2 = 1 + 0,637 143 402 905 6;
  • 24) 0,637 143 402 905 6 × 2 = 1 + 0,274 286 805 811 2;
  • 25) 0,274 286 805 811 2 × 2 = 0 + 0,548 573 611 622 4;
  • 26) 0,548 573 611 622 4 × 2 = 1 + 0,097 147 223 244 8;
  • 27) 0,097 147 223 244 8 × 2 = 0 + 0,194 294 446 489 6;
  • 28) 0,194 294 446 489 6 × 2 = 0 + 0,388 588 892 979 2;
  • 29) 0,388 588 892 979 2 × 2 = 0 + 0,777 177 785 958 4;
  • 30) 0,777 177 785 958 4 × 2 = 1 + 0,554 355 571 916 8;
  • 31) 0,554 355 571 916 8 × 2 = 1 + 0,108 711 143 833 6;
  • 32) 0,108 711 143 833 6 × 2 = 0 + 0,217 422 287 667 2;
  • 33) 0,217 422 287 667 2 × 2 = 0 + 0,434 844 575 334 4;
  • 34) 0,434 844 575 334 4 × 2 = 0 + 0,869 689 150 668 8;
  • 35) 0,869 689 150 668 8 × 2 = 1 + 0,739 378 301 337 6;
  • 36) 0,739 378 301 337 6 × 2 = 1 + 0,478 756 602 675 2;
  • 37) 0,478 756 602 675 2 × 2 = 0 + 0,957 513 205 350 4;
  • 38) 0,957 513 205 350 4 × 2 = 1 + 0,915 026 410 700 8;
  • 39) 0,915 026 410 700 8 × 2 = 1 + 0,830 052 821 401 6;
  • 40) 0,830 052 821 401 6 × 2 = 1 + 0,660 105 642 803 2;
  • 41) 0,660 105 642 803 2 × 2 = 1 + 0,320 211 285 606 4;
  • 42) 0,320 211 285 606 4 × 2 = 0 + 0,640 422 571 212 8;
  • 43) 0,640 422 571 212 8 × 2 = 1 + 0,280 845 142 425 6;
  • 44) 0,280 845 142 425 6 × 2 = 0 + 0,561 690 284 851 2;
  • 45) 0,561 690 284 851 2 × 2 = 1 + 0,123 380 569 702 4;
  • 46) 0,123 380 569 702 4 × 2 = 0 + 0,246 761 139 404 8;
  • 47) 0,246 761 139 404 8 × 2 = 0 + 0,493 522 278 809 6;
  • 48) 0,493 522 278 809 6 × 2 = 0 + 0,987 044 557 619 2;
  • 49) 0,987 044 557 619 2 × 2 = 1 + 0,974 089 115 238 4;
  • 50) 0,974 089 115 238 4 × 2 = 1 + 0,948 178 230 476 8;
  • 51) 0,948 178 230 476 8 × 2 = 1 + 0,896 356 460 953 6;
  • 52) 0,896 356 460 953 6 × 2 = 1 + 0,792 712 921 907 2;
  • 53) 0,792 712 921 907 2 × 2 = 1 + 0,585 425 843 814 4;
  • 54) 0,585 425 843 814 4 × 2 = 1 + 0,170 851 687 628 8;
  • 55) 0,170 851 687 628 8 × 2 = 0 + 0,341 703 375 257 6;
  • 56) 0,341 703 375 257 6 × 2 = 0 + 0,683 406 750 515 2;
  • 57) 0,683 406 750 515 2 × 2 = 1 + 0,366 813 501 030 4;
  • 58) 0,366 813 501 030 4 × 2 = 0 + 0,733 627 002 060 8;
  • 59) 0,733 627 002 060 8 × 2 = 1 + 0,467 254 004 121 6;
  • 60) 0,467 254 004 121 6 × 2 = 0 + 0,934 508 008 243 2;
  • 61) 0,934 508 008 243 2 × 2 = 1 + 0,869 016 016 486 4;
  • 62) 0,869 016 016 486 4 × 2 = 1 + 0,738 032 032 972 8;
  • 63) 0,738 032 032 972 8 × 2 = 1 + 0,476 064 065 945 6;
  • 64) 0,476 064 065 945 6 × 2 = 0 + 0,952 128 131 891 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 923 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 923 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 923 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 923 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1010 1000 1111 1100 1010 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 919 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100