-0,000 282 005 923 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 923 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 923 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 923 4| = 0,000 282 005 923 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 923 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 923 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 846 8;
  • 2) 0,000 564 011 846 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 693 6;
  • 3) 0,001 128 023 693 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 387 2;
  • 4) 0,002 256 047 387 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 774 4;
  • 5) 0,004 512 094 774 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 548 8;
  • 6) 0,009 024 189 548 8 × 2 = 0 + 0,018 048 379 097 6;
  • 7) 0,018 048 379 097 6 × 2 = 0 + 0,036 096 758 195 2;
  • 8) 0,036 096 758 195 2 × 2 = 0 + 0,072 193 516 390 4;
  • 9) 0,072 193 516 390 4 × 2 = 0 + 0,144 387 032 780 8;
  • 10) 0,144 387 032 780 8 × 2 = 0 + 0,288 774 065 561 6;
  • 11) 0,288 774 065 561 6 × 2 = 0 + 0,577 548 131 123 2;
  • 12) 0,577 548 131 123 2 × 2 = 1 + 0,155 096 262 246 4;
  • 13) 0,155 096 262 246 4 × 2 = 0 + 0,310 192 524 492 8;
  • 14) 0,310 192 524 492 8 × 2 = 0 + 0,620 385 048 985 6;
  • 15) 0,620 385 048 985 6 × 2 = 1 + 0,240 770 097 971 2;
  • 16) 0,240 770 097 971 2 × 2 = 0 + 0,481 540 195 942 4;
  • 17) 0,481 540 195 942 4 × 2 = 0 + 0,963 080 391 884 8;
  • 18) 0,963 080 391 884 8 × 2 = 1 + 0,926 160 783 769 6;
  • 19) 0,926 160 783 769 6 × 2 = 1 + 0,852 321 567 539 2;
  • 20) 0,852 321 567 539 2 × 2 = 1 + 0,704 643 135 078 4;
  • 21) 0,704 643 135 078 4 × 2 = 1 + 0,409 286 270 156 8;
  • 22) 0,409 286 270 156 8 × 2 = 0 + 0,818 572 540 313 6;
  • 23) 0,818 572 540 313 6 × 2 = 1 + 0,637 145 080 627 2;
  • 24) 0,637 145 080 627 2 × 2 = 1 + 0,274 290 161 254 4;
  • 25) 0,274 290 161 254 4 × 2 = 0 + 0,548 580 322 508 8;
  • 26) 0,548 580 322 508 8 × 2 = 1 + 0,097 160 645 017 6;
  • 27) 0,097 160 645 017 6 × 2 = 0 + 0,194 321 290 035 2;
  • 28) 0,194 321 290 035 2 × 2 = 0 + 0,388 642 580 070 4;
  • 29) 0,388 642 580 070 4 × 2 = 0 + 0,777 285 160 140 8;
  • 30) 0,777 285 160 140 8 × 2 = 1 + 0,554 570 320 281 6;
  • 31) 0,554 570 320 281 6 × 2 = 1 + 0,109 140 640 563 2;
  • 32) 0,109 140 640 563 2 × 2 = 0 + 0,218 281 281 126 4;
  • 33) 0,218 281 281 126 4 × 2 = 0 + 0,436 562 562 252 8;
  • 34) 0,436 562 562 252 8 × 2 = 0 + 0,873 125 124 505 6;
  • 35) 0,873 125 124 505 6 × 2 = 1 + 0,746 250 249 011 2;
  • 36) 0,746 250 249 011 2 × 2 = 1 + 0,492 500 498 022 4;
  • 37) 0,492 500 498 022 4 × 2 = 0 + 0,985 000 996 044 8;
  • 38) 0,985 000 996 044 8 × 2 = 1 + 0,970 001 992 089 6;
  • 39) 0,970 001 992 089 6 × 2 = 1 + 0,940 003 984 179 2;
  • 40) 0,940 003 984 179 2 × 2 = 1 + 0,880 007 968 358 4;
  • 41) 0,880 007 968 358 4 × 2 = 1 + 0,760 015 936 716 8;
  • 42) 0,760 015 936 716 8 × 2 = 1 + 0,520 031 873 433 6;
  • 43) 0,520 031 873 433 6 × 2 = 1 + 0,040 063 746 867 2;
  • 44) 0,040 063 746 867 2 × 2 = 0 + 0,080 127 493 734 4;
  • 45) 0,080 127 493 734 4 × 2 = 0 + 0,160 254 987 468 8;
  • 46) 0,160 254 987 468 8 × 2 = 0 + 0,320 509 974 937 6;
  • 47) 0,320 509 974 937 6 × 2 = 0 + 0,641 019 949 875 2;
  • 48) 0,641 019 949 875 2 × 2 = 1 + 0,282 039 899 750 4;
  • 49) 0,282 039 899 750 4 × 2 = 0 + 0,564 079 799 500 8;
  • 50) 0,564 079 799 500 8 × 2 = 1 + 0,128 159 599 001 6;
  • 51) 0,128 159 599 001 6 × 2 = 0 + 0,256 319 198 003 2;
  • 52) 0,256 319 198 003 2 × 2 = 0 + 0,512 638 396 006 4;
  • 53) 0,512 638 396 006 4 × 2 = 1 + 0,025 276 792 012 8;
  • 54) 0,025 276 792 012 8 × 2 = 0 + 0,050 553 584 025 6;
  • 55) 0,050 553 584 025 6 × 2 = 0 + 0,101 107 168 051 2;
  • 56) 0,101 107 168 051 2 × 2 = 0 + 0,202 214 336 102 4;
  • 57) 0,202 214 336 102 4 × 2 = 0 + 0,404 428 672 204 8;
  • 58) 0,404 428 672 204 8 × 2 = 0 + 0,808 857 344 409 6;
  • 59) 0,808 857 344 409 6 × 2 = 1 + 0,617 714 688 819 2;
  • 60) 0,617 714 688 819 2 × 2 = 1 + 0,235 429 377 638 4;
  • 61) 0,235 429 377 638 4 × 2 = 0 + 0,470 858 755 276 8;
  • 62) 0,470 858 755 276 8 × 2 = 0 + 0,941 717 510 553 6;
  • 63) 0,941 717 510 553 6 × 2 = 1 + 0,883 435 021 107 2;
  • 64) 0,883 435 021 107 2 × 2 = 1 + 0,766 870 042 214 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 923 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 923 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 923 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 923 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0111 1110 0001 0100 1000 0011 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 925 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100