-0,000 282 005 925 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 925 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 925 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 925 1| = 0,000 282 005 925 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 925 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 925 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 850 2;
  • 2) 0,000 564 011 850 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 700 4;
  • 3) 0,001 128 023 700 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 400 8;
  • 4) 0,002 256 047 400 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 801 6;
  • 5) 0,004 512 094 801 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 603 2;
  • 6) 0,009 024 189 603 2 × 2 = 0 + 0,018 048 379 206 4;
  • 7) 0,018 048 379 206 4 × 2 = 0 + 0,036 096 758 412 8;
  • 8) 0,036 096 758 412 8 × 2 = 0 + 0,072 193 516 825 6;
  • 9) 0,072 193 516 825 6 × 2 = 0 + 0,144 387 033 651 2;
  • 10) 0,144 387 033 651 2 × 2 = 0 + 0,288 774 067 302 4;
  • 11) 0,288 774 067 302 4 × 2 = 0 + 0,577 548 134 604 8;
  • 12) 0,577 548 134 604 8 × 2 = 1 + 0,155 096 269 209 6;
  • 13) 0,155 096 269 209 6 × 2 = 0 + 0,310 192 538 419 2;
  • 14) 0,310 192 538 419 2 × 2 = 0 + 0,620 385 076 838 4;
  • 15) 0,620 385 076 838 4 × 2 = 1 + 0,240 770 153 676 8;
  • 16) 0,240 770 153 676 8 × 2 = 0 + 0,481 540 307 353 6;
  • 17) 0,481 540 307 353 6 × 2 = 0 + 0,963 080 614 707 2;
  • 18) 0,963 080 614 707 2 × 2 = 1 + 0,926 161 229 414 4;
  • 19) 0,926 161 229 414 4 × 2 = 1 + 0,852 322 458 828 8;
  • 20) 0,852 322 458 828 8 × 2 = 1 + 0,704 644 917 657 6;
  • 21) 0,704 644 917 657 6 × 2 = 1 + 0,409 289 835 315 2;
  • 22) 0,409 289 835 315 2 × 2 = 0 + 0,818 579 670 630 4;
  • 23) 0,818 579 670 630 4 × 2 = 1 + 0,637 159 341 260 8;
  • 24) 0,637 159 341 260 8 × 2 = 1 + 0,274 318 682 521 6;
  • 25) 0,274 318 682 521 6 × 2 = 0 + 0,548 637 365 043 2;
  • 26) 0,548 637 365 043 2 × 2 = 1 + 0,097 274 730 086 4;
  • 27) 0,097 274 730 086 4 × 2 = 0 + 0,194 549 460 172 8;
  • 28) 0,194 549 460 172 8 × 2 = 0 + 0,389 098 920 345 6;
  • 29) 0,389 098 920 345 6 × 2 = 0 + 0,778 197 840 691 2;
  • 30) 0,778 197 840 691 2 × 2 = 1 + 0,556 395 681 382 4;
  • 31) 0,556 395 681 382 4 × 2 = 1 + 0,112 791 362 764 8;
  • 32) 0,112 791 362 764 8 × 2 = 0 + 0,225 582 725 529 6;
  • 33) 0,225 582 725 529 6 × 2 = 0 + 0,451 165 451 059 2;
  • 34) 0,451 165 451 059 2 × 2 = 0 + 0,902 330 902 118 4;
  • 35) 0,902 330 902 118 4 × 2 = 1 + 0,804 661 804 236 8;
  • 36) 0,804 661 804 236 8 × 2 = 1 + 0,609 323 608 473 6;
  • 37) 0,609 323 608 473 6 × 2 = 1 + 0,218 647 216 947 2;
  • 38) 0,218 647 216 947 2 × 2 = 0 + 0,437 294 433 894 4;
  • 39) 0,437 294 433 894 4 × 2 = 0 + 0,874 588 867 788 8;
  • 40) 0,874 588 867 788 8 × 2 = 1 + 0,749 177 735 577 6;
  • 41) 0,749 177 735 577 6 × 2 = 1 + 0,498 355 471 155 2;
  • 42) 0,498 355 471 155 2 × 2 = 0 + 0,996 710 942 310 4;
  • 43) 0,996 710 942 310 4 × 2 = 1 + 0,993 421 884 620 8;
  • 44) 0,993 421 884 620 8 × 2 = 1 + 0,986 843 769 241 6;
  • 45) 0,986 843 769 241 6 × 2 = 1 + 0,973 687 538 483 2;
  • 46) 0,973 687 538 483 2 × 2 = 1 + 0,947 375 076 966 4;
  • 47) 0,947 375 076 966 4 × 2 = 1 + 0,894 750 153 932 8;
  • 48) 0,894 750 153 932 8 × 2 = 1 + 0,789 500 307 865 6;
  • 49) 0,789 500 307 865 6 × 2 = 1 + 0,579 000 615 731 2;
  • 50) 0,579 000 615 731 2 × 2 = 1 + 0,158 001 231 462 4;
  • 51) 0,158 001 231 462 4 × 2 = 0 + 0,316 002 462 924 8;
  • 52) 0,316 002 462 924 8 × 2 = 0 + 0,632 004 925 849 6;
  • 53) 0,632 004 925 849 6 × 2 = 1 + 0,264 009 851 699 2;
  • 54) 0,264 009 851 699 2 × 2 = 0 + 0,528 019 703 398 4;
  • 55) 0,528 019 703 398 4 × 2 = 1 + 0,056 039 406 796 8;
  • 56) 0,056 039 406 796 8 × 2 = 0 + 0,112 078 813 593 6;
  • 57) 0,112 078 813 593 6 × 2 = 0 + 0,224 157 627 187 2;
  • 58) 0,224 157 627 187 2 × 2 = 0 + 0,448 315 254 374 4;
  • 59) 0,448 315 254 374 4 × 2 = 0 + 0,896 630 508 748 8;
  • 60) 0,896 630 508 748 8 × 2 = 1 + 0,793 261 017 497 6;
  • 61) 0,793 261 017 497 6 × 2 = 1 + 0,586 522 034 995 2;
  • 62) 0,586 522 034 995 2 × 2 = 1 + 0,173 044 069 990 4;
  • 63) 0,173 044 069 990 4 × 2 = 0 + 0,346 088 139 980 8;
  • 64) 0,346 088 139 980 8 × 2 = 0 + 0,692 176 279 961 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 925 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 925 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 925 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 925 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1001 1011 1111 1100 1010 0001 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100