-0,000 282 005 928 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 928 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 928 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 928 9| = 0,000 282 005 928 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 928 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 928 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 857 8;
  • 2) 0,000 564 011 857 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 715 6;
  • 3) 0,001 128 023 715 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 431 2;
  • 4) 0,002 256 047 431 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 862 4;
  • 5) 0,004 512 094 862 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 724 8;
  • 6) 0,009 024 189 724 8 × 2 = 0 + 0,018 048 379 449 6;
  • 7) 0,018 048 379 449 6 × 2 = 0 + 0,036 096 758 899 2;
  • 8) 0,036 096 758 899 2 × 2 = 0 + 0,072 193 517 798 4;
  • 9) 0,072 193 517 798 4 × 2 = 0 + 0,144 387 035 596 8;
  • 10) 0,144 387 035 596 8 × 2 = 0 + 0,288 774 071 193 6;
  • 11) 0,288 774 071 193 6 × 2 = 0 + 0,577 548 142 387 2;
  • 12) 0,577 548 142 387 2 × 2 = 1 + 0,155 096 284 774 4;
  • 13) 0,155 096 284 774 4 × 2 = 0 + 0,310 192 569 548 8;
  • 14) 0,310 192 569 548 8 × 2 = 0 + 0,620 385 139 097 6;
  • 15) 0,620 385 139 097 6 × 2 = 1 + 0,240 770 278 195 2;
  • 16) 0,240 770 278 195 2 × 2 = 0 + 0,481 540 556 390 4;
  • 17) 0,481 540 556 390 4 × 2 = 0 + 0,963 081 112 780 8;
  • 18) 0,963 081 112 780 8 × 2 = 1 + 0,926 162 225 561 6;
  • 19) 0,926 162 225 561 6 × 2 = 1 + 0,852 324 451 123 2;
  • 20) 0,852 324 451 123 2 × 2 = 1 + 0,704 648 902 246 4;
  • 21) 0,704 648 902 246 4 × 2 = 1 + 0,409 297 804 492 8;
  • 22) 0,409 297 804 492 8 × 2 = 0 + 0,818 595 608 985 6;
  • 23) 0,818 595 608 985 6 × 2 = 1 + 0,637 191 217 971 2;
  • 24) 0,637 191 217 971 2 × 2 = 1 + 0,274 382 435 942 4;
  • 25) 0,274 382 435 942 4 × 2 = 0 + 0,548 764 871 884 8;
  • 26) 0,548 764 871 884 8 × 2 = 1 + 0,097 529 743 769 6;
  • 27) 0,097 529 743 769 6 × 2 = 0 + 0,195 059 487 539 2;
  • 28) 0,195 059 487 539 2 × 2 = 0 + 0,390 118 975 078 4;
  • 29) 0,390 118 975 078 4 × 2 = 0 + 0,780 237 950 156 8;
  • 30) 0,780 237 950 156 8 × 2 = 1 + 0,560 475 900 313 6;
  • 31) 0,560 475 900 313 6 × 2 = 1 + 0,120 951 800 627 2;
  • 32) 0,120 951 800 627 2 × 2 = 0 + 0,241 903 601 254 4;
  • 33) 0,241 903 601 254 4 × 2 = 0 + 0,483 807 202 508 8;
  • 34) 0,483 807 202 508 8 × 2 = 0 + 0,967 614 405 017 6;
  • 35) 0,967 614 405 017 6 × 2 = 1 + 0,935 228 810 035 2;
  • 36) 0,935 228 810 035 2 × 2 = 1 + 0,870 457 620 070 4;
  • 37) 0,870 457 620 070 4 × 2 = 1 + 0,740 915 240 140 8;
  • 38) 0,740 915 240 140 8 × 2 = 1 + 0,481 830 480 281 6;
  • 39) 0,481 830 480 281 6 × 2 = 0 + 0,963 660 960 563 2;
  • 40) 0,963 660 960 563 2 × 2 = 1 + 0,927 321 921 126 4;
  • 41) 0,927 321 921 126 4 × 2 = 1 + 0,854 643 842 252 8;
  • 42) 0,854 643 842 252 8 × 2 = 1 + 0,709 287 684 505 6;
  • 43) 0,709 287 684 505 6 × 2 = 1 + 0,418 575 369 011 2;
  • 44) 0,418 575 369 011 2 × 2 = 0 + 0,837 150 738 022 4;
  • 45) 0,837 150 738 022 4 × 2 = 1 + 0,674 301 476 044 8;
  • 46) 0,674 301 476 044 8 × 2 = 1 + 0,348 602 952 089 6;
  • 47) 0,348 602 952 089 6 × 2 = 0 + 0,697 205 904 179 2;
  • 48) 0,697 205 904 179 2 × 2 = 1 + 0,394 411 808 358 4;
  • 49) 0,394 411 808 358 4 × 2 = 0 + 0,788 823 616 716 8;
  • 50) 0,788 823 616 716 8 × 2 = 1 + 0,577 647 233 433 6;
  • 51) 0,577 647 233 433 6 × 2 = 1 + 0,155 294 466 867 2;
  • 52) 0,155 294 466 867 2 × 2 = 0 + 0,310 588 933 734 4;
  • 53) 0,310 588 933 734 4 × 2 = 0 + 0,621 177 867 468 8;
  • 54) 0,621 177 867 468 8 × 2 = 1 + 0,242 355 734 937 6;
  • 55) 0,242 355 734 937 6 × 2 = 0 + 0,484 711 469 875 2;
  • 56) 0,484 711 469 875 2 × 2 = 0 + 0,969 422 939 750 4;
  • 57) 0,969 422 939 750 4 × 2 = 1 + 0,938 845 879 500 8;
  • 58) 0,938 845 879 500 8 × 2 = 1 + 0,877 691 759 001 6;
  • 59) 0,877 691 759 001 6 × 2 = 1 + 0,755 383 518 003 2;
  • 60) 0,755 383 518 003 2 × 2 = 1 + 0,510 767 036 006 4;
  • 61) 0,510 767 036 006 4 × 2 = 1 + 0,021 534 072 012 8;
  • 62) 0,021 534 072 012 8 × 2 = 0 + 0,043 068 144 025 6;
  • 63) 0,043 068 144 025 6 × 2 = 0 + 0,086 136 288 051 2;
  • 64) 0,086 136 288 051 2 × 2 = 0 + 0,172 272 576 102 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 928 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 928 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 928 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 928 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1110 1101 0110 0100 1111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 919 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100