-0,000 282 005 930 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 930 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 930 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 930 3| = 0,000 282 005 930 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 930 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 930 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 860 6;
  • 2) 0,000 564 011 860 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 721 2;
  • 3) 0,001 128 023 721 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 442 4;
  • 4) 0,002 256 047 442 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 884 8;
  • 5) 0,004 512 094 884 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 769 6;
  • 6) 0,009 024 189 769 6 × 2 = 0 + 0,018 048 379 539 2;
  • 7) 0,018 048 379 539 2 × 2 = 0 + 0,036 096 759 078 4;
  • 8) 0,036 096 759 078 4 × 2 = 0 + 0,072 193 518 156 8;
  • 9) 0,072 193 518 156 8 × 2 = 0 + 0,144 387 036 313 6;
  • 10) 0,144 387 036 313 6 × 2 = 0 + 0,288 774 072 627 2;
  • 11) 0,288 774 072 627 2 × 2 = 0 + 0,577 548 145 254 4;
  • 12) 0,577 548 145 254 4 × 2 = 1 + 0,155 096 290 508 8;
  • 13) 0,155 096 290 508 8 × 2 = 0 + 0,310 192 581 017 6;
  • 14) 0,310 192 581 017 6 × 2 = 0 + 0,620 385 162 035 2;
  • 15) 0,620 385 162 035 2 × 2 = 1 + 0,240 770 324 070 4;
  • 16) 0,240 770 324 070 4 × 2 = 0 + 0,481 540 648 140 8;
  • 17) 0,481 540 648 140 8 × 2 = 0 + 0,963 081 296 281 6;
  • 18) 0,963 081 296 281 6 × 2 = 1 + 0,926 162 592 563 2;
  • 19) 0,926 162 592 563 2 × 2 = 1 + 0,852 325 185 126 4;
  • 20) 0,852 325 185 126 4 × 2 = 1 + 0,704 650 370 252 8;
  • 21) 0,704 650 370 252 8 × 2 = 1 + 0,409 300 740 505 6;
  • 22) 0,409 300 740 505 6 × 2 = 0 + 0,818 601 481 011 2;
  • 23) 0,818 601 481 011 2 × 2 = 1 + 0,637 202 962 022 4;
  • 24) 0,637 202 962 022 4 × 2 = 1 + 0,274 405 924 044 8;
  • 25) 0,274 405 924 044 8 × 2 = 0 + 0,548 811 848 089 6;
  • 26) 0,548 811 848 089 6 × 2 = 1 + 0,097 623 696 179 2;
  • 27) 0,097 623 696 179 2 × 2 = 0 + 0,195 247 392 358 4;
  • 28) 0,195 247 392 358 4 × 2 = 0 + 0,390 494 784 716 8;
  • 29) 0,390 494 784 716 8 × 2 = 0 + 0,780 989 569 433 6;
  • 30) 0,780 989 569 433 6 × 2 = 1 + 0,561 979 138 867 2;
  • 31) 0,561 979 138 867 2 × 2 = 1 + 0,123 958 277 734 4;
  • 32) 0,123 958 277 734 4 × 2 = 0 + 0,247 916 555 468 8;
  • 33) 0,247 916 555 468 8 × 2 = 0 + 0,495 833 110 937 6;
  • 34) 0,495 833 110 937 6 × 2 = 0 + 0,991 666 221 875 2;
  • 35) 0,991 666 221 875 2 × 2 = 1 + 0,983 332 443 750 4;
  • 36) 0,983 332 443 750 4 × 2 = 1 + 0,966 664 887 500 8;
  • 37) 0,966 664 887 500 8 × 2 = 1 + 0,933 329 775 001 6;
  • 38) 0,933 329 775 001 6 × 2 = 1 + 0,866 659 550 003 2;
  • 39) 0,866 659 550 003 2 × 2 = 1 + 0,733 319 100 006 4;
  • 40) 0,733 319 100 006 4 × 2 = 1 + 0,466 638 200 012 8;
  • 41) 0,466 638 200 012 8 × 2 = 0 + 0,933 276 400 025 6;
  • 42) 0,933 276 400 025 6 × 2 = 1 + 0,866 552 800 051 2;
  • 43) 0,866 552 800 051 2 × 2 = 1 + 0,733 105 600 102 4;
  • 44) 0,733 105 600 102 4 × 2 = 1 + 0,466 211 200 204 8;
  • 45) 0,466 211 200 204 8 × 2 = 0 + 0,932 422 400 409 6;
  • 46) 0,932 422 400 409 6 × 2 = 1 + 0,864 844 800 819 2;
  • 47) 0,864 844 800 819 2 × 2 = 1 + 0,729 689 601 638 4;
  • 48) 0,729 689 601 638 4 × 2 = 1 + 0,459 379 203 276 8;
  • 49) 0,459 379 203 276 8 × 2 = 0 + 0,918 758 406 553 6;
  • 50) 0,918 758 406 553 6 × 2 = 1 + 0,837 516 813 107 2;
  • 51) 0,837 516 813 107 2 × 2 = 1 + 0,675 033 626 214 4;
  • 52) 0,675 033 626 214 4 × 2 = 1 + 0,350 067 252 428 8;
  • 53) 0,350 067 252 428 8 × 2 = 0 + 0,700 134 504 857 6;
  • 54) 0,700 134 504 857 6 × 2 = 1 + 0,400 269 009 715 2;
  • 55) 0,400 269 009 715 2 × 2 = 0 + 0,800 538 019 430 4;
  • 56) 0,800 538 019 430 4 × 2 = 1 + 0,601 076 038 860 8;
  • 57) 0,601 076 038 860 8 × 2 = 1 + 0,202 152 077 721 6;
  • 58) 0,202 152 077 721 6 × 2 = 0 + 0,404 304 155 443 2;
  • 59) 0,404 304 155 443 2 × 2 = 0 + 0,808 608 310 886 4;
  • 60) 0,808 608 310 886 4 × 2 = 1 + 0,617 216 621 772 8;
  • 61) 0,617 216 621 772 8 × 2 = 1 + 0,234 433 243 545 6;
  • 62) 0,234 433 243 545 6 × 2 = 0 + 0,468 866 487 091 2;
  • 63) 0,468 866 487 091 2 × 2 = 0 + 0,937 732 974 182 4;
  • 64) 0,937 732 974 182 4 × 2 = 1 + 0,875 465 948 364 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 930 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 930 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 930 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 930 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1111 0111 0111 0111 0101 1001 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 928 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100