-0,000 282 005 933 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 933 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 933 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 933 1| = 0,000 282 005 933 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 933 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 933 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 866 2;
  • 2) 0,000 564 011 866 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 732 4;
  • 3) 0,001 128 023 732 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 464 8;
  • 4) 0,002 256 047 464 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 929 6;
  • 5) 0,004 512 094 929 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 859 2;
  • 6) 0,009 024 189 859 2 × 2 = 0 + 0,018 048 379 718 4;
  • 7) 0,018 048 379 718 4 × 2 = 0 + 0,036 096 759 436 8;
  • 8) 0,036 096 759 436 8 × 2 = 0 + 0,072 193 518 873 6;
  • 9) 0,072 193 518 873 6 × 2 = 0 + 0,144 387 037 747 2;
  • 10) 0,144 387 037 747 2 × 2 = 0 + 0,288 774 075 494 4;
  • 11) 0,288 774 075 494 4 × 2 = 0 + 0,577 548 150 988 8;
  • 12) 0,577 548 150 988 8 × 2 = 1 + 0,155 096 301 977 6;
  • 13) 0,155 096 301 977 6 × 2 = 0 + 0,310 192 603 955 2;
  • 14) 0,310 192 603 955 2 × 2 = 0 + 0,620 385 207 910 4;
  • 15) 0,620 385 207 910 4 × 2 = 1 + 0,240 770 415 820 8;
  • 16) 0,240 770 415 820 8 × 2 = 0 + 0,481 540 831 641 6;
  • 17) 0,481 540 831 641 6 × 2 = 0 + 0,963 081 663 283 2;
  • 18) 0,963 081 663 283 2 × 2 = 1 + 0,926 163 326 566 4;
  • 19) 0,926 163 326 566 4 × 2 = 1 + 0,852 326 653 132 8;
  • 20) 0,852 326 653 132 8 × 2 = 1 + 0,704 653 306 265 6;
  • 21) 0,704 653 306 265 6 × 2 = 1 + 0,409 306 612 531 2;
  • 22) 0,409 306 612 531 2 × 2 = 0 + 0,818 613 225 062 4;
  • 23) 0,818 613 225 062 4 × 2 = 1 + 0,637 226 450 124 8;
  • 24) 0,637 226 450 124 8 × 2 = 1 + 0,274 452 900 249 6;
  • 25) 0,274 452 900 249 6 × 2 = 0 + 0,548 905 800 499 2;
  • 26) 0,548 905 800 499 2 × 2 = 1 + 0,097 811 600 998 4;
  • 27) 0,097 811 600 998 4 × 2 = 0 + 0,195 623 201 996 8;
  • 28) 0,195 623 201 996 8 × 2 = 0 + 0,391 246 403 993 6;
  • 29) 0,391 246 403 993 6 × 2 = 0 + 0,782 492 807 987 2;
  • 30) 0,782 492 807 987 2 × 2 = 1 + 0,564 985 615 974 4;
  • 31) 0,564 985 615 974 4 × 2 = 1 + 0,129 971 231 948 8;
  • 32) 0,129 971 231 948 8 × 2 = 0 + 0,259 942 463 897 6;
  • 33) 0,259 942 463 897 6 × 2 = 0 + 0,519 884 927 795 2;
  • 34) 0,519 884 927 795 2 × 2 = 1 + 0,039 769 855 590 4;
  • 35) 0,039 769 855 590 4 × 2 = 0 + 0,079 539 711 180 8;
  • 36) 0,079 539 711 180 8 × 2 = 0 + 0,159 079 422 361 6;
  • 37) 0,159 079 422 361 6 × 2 = 0 + 0,318 158 844 723 2;
  • 38) 0,318 158 844 723 2 × 2 = 0 + 0,636 317 689 446 4;
  • 39) 0,636 317 689 446 4 × 2 = 1 + 0,272 635 378 892 8;
  • 40) 0,272 635 378 892 8 × 2 = 0 + 0,545 270 757 785 6;
  • 41) 0,545 270 757 785 6 × 2 = 1 + 0,090 541 515 571 2;
  • 42) 0,090 541 515 571 2 × 2 = 0 + 0,181 083 031 142 4;
  • 43) 0,181 083 031 142 4 × 2 = 0 + 0,362 166 062 284 8;
  • 44) 0,362 166 062 284 8 × 2 = 0 + 0,724 332 124 569 6;
  • 45) 0,724 332 124 569 6 × 2 = 1 + 0,448 664 249 139 2;
  • 46) 0,448 664 249 139 2 × 2 = 0 + 0,897 328 498 278 4;
  • 47) 0,897 328 498 278 4 × 2 = 1 + 0,794 656 996 556 8;
  • 48) 0,794 656 996 556 8 × 2 = 1 + 0,589 313 993 113 6;
  • 49) 0,589 313 993 113 6 × 2 = 1 + 0,178 627 986 227 2;
  • 50) 0,178 627 986 227 2 × 2 = 0 + 0,357 255 972 454 4;
  • 51) 0,357 255 972 454 4 × 2 = 0 + 0,714 511 944 908 8;
  • 52) 0,714 511 944 908 8 × 2 = 1 + 0,429 023 889 817 6;
  • 53) 0,429 023 889 817 6 × 2 = 0 + 0,858 047 779 635 2;
  • 54) 0,858 047 779 635 2 × 2 = 1 + 0,716 095 559 270 4;
  • 55) 0,716 095 559 270 4 × 2 = 1 + 0,432 191 118 540 8;
  • 56) 0,432 191 118 540 8 × 2 = 0 + 0,864 382 237 081 6;
  • 57) 0,864 382 237 081 6 × 2 = 1 + 0,728 764 474 163 2;
  • 58) 0,728 764 474 163 2 × 2 = 1 + 0,457 528 948 326 4;
  • 59) 0,457 528 948 326 4 × 2 = 0 + 0,915 057 896 652 8;
  • 60) 0,915 057 896 652 8 × 2 = 1 + 0,830 115 793 305 6;
  • 61) 0,830 115 793 305 6 × 2 = 1 + 0,660 231 586 611 2;
  • 62) 0,660 231 586 611 2 × 2 = 1 + 0,320 463 173 222 4;
  • 63) 0,320 463 173 222 4 × 2 = 0 + 0,640 926 346 444 8;
  • 64) 0,640 926 346 444 8 × 2 = 1 + 0,281 852 692 889 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 933 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 933 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 933 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 933 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0010 1000 1011 1001 0110 1101 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 943 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100