-0,000 282 005 940 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 940 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 940 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 940 2| = 0,000 282 005 940 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 940 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 940 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 880 4;
  • 2) 0,000 564 011 880 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 760 8;
  • 3) 0,001 128 023 760 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 521 6;
  • 4) 0,002 256 047 521 6 × 2 = 0 + 0,004 512 095 043 2;
  • 5) 0,004 512 095 043 2 × 2 = 0 + 0,009 024 190 086 4;
  • 6) 0,009 024 190 086 4 × 2 = 0 + 0,018 048 380 172 8;
  • 7) 0,018 048 380 172 8 × 2 = 0 + 0,036 096 760 345 6;
  • 8) 0,036 096 760 345 6 × 2 = 0 + 0,072 193 520 691 2;
  • 9) 0,072 193 520 691 2 × 2 = 0 + 0,144 387 041 382 4;
  • 10) 0,144 387 041 382 4 × 2 = 0 + 0,288 774 082 764 8;
  • 11) 0,288 774 082 764 8 × 2 = 0 + 0,577 548 165 529 6;
  • 12) 0,577 548 165 529 6 × 2 = 1 + 0,155 096 331 059 2;
  • 13) 0,155 096 331 059 2 × 2 = 0 + 0,310 192 662 118 4;
  • 14) 0,310 192 662 118 4 × 2 = 0 + 0,620 385 324 236 8;
  • 15) 0,620 385 324 236 8 × 2 = 1 + 0,240 770 648 473 6;
  • 16) 0,240 770 648 473 6 × 2 = 0 + 0,481 541 296 947 2;
  • 17) 0,481 541 296 947 2 × 2 = 0 + 0,963 082 593 894 4;
  • 18) 0,963 082 593 894 4 × 2 = 1 + 0,926 165 187 788 8;
  • 19) 0,926 165 187 788 8 × 2 = 1 + 0,852 330 375 577 6;
  • 20) 0,852 330 375 577 6 × 2 = 1 + 0,704 660 751 155 2;
  • 21) 0,704 660 751 155 2 × 2 = 1 + 0,409 321 502 310 4;
  • 22) 0,409 321 502 310 4 × 2 = 0 + 0,818 643 004 620 8;
  • 23) 0,818 643 004 620 8 × 2 = 1 + 0,637 286 009 241 6;
  • 24) 0,637 286 009 241 6 × 2 = 1 + 0,274 572 018 483 2;
  • 25) 0,274 572 018 483 2 × 2 = 0 + 0,549 144 036 966 4;
  • 26) 0,549 144 036 966 4 × 2 = 1 + 0,098 288 073 932 8;
  • 27) 0,098 288 073 932 8 × 2 = 0 + 0,196 576 147 865 6;
  • 28) 0,196 576 147 865 6 × 2 = 0 + 0,393 152 295 731 2;
  • 29) 0,393 152 295 731 2 × 2 = 0 + 0,786 304 591 462 4;
  • 30) 0,786 304 591 462 4 × 2 = 1 + 0,572 609 182 924 8;
  • 31) 0,572 609 182 924 8 × 2 = 1 + 0,145 218 365 849 6;
  • 32) 0,145 218 365 849 6 × 2 = 0 + 0,290 436 731 699 2;
  • 33) 0,290 436 731 699 2 × 2 = 0 + 0,580 873 463 398 4;
  • 34) 0,580 873 463 398 4 × 2 = 1 + 0,161 746 926 796 8;
  • 35) 0,161 746 926 796 8 × 2 = 0 + 0,323 493 853 593 6;
  • 36) 0,323 493 853 593 6 × 2 = 0 + 0,646 987 707 187 2;
  • 37) 0,646 987 707 187 2 × 2 = 1 + 0,293 975 414 374 4;
  • 38) 0,293 975 414 374 4 × 2 = 0 + 0,587 950 828 748 8;
  • 39) 0,587 950 828 748 8 × 2 = 1 + 0,175 901 657 497 6;
  • 40) 0,175 901 657 497 6 × 2 = 0 + 0,351 803 314 995 2;
  • 41) 0,351 803 314 995 2 × 2 = 0 + 0,703 606 629 990 4;
  • 42) 0,703 606 629 990 4 × 2 = 1 + 0,407 213 259 980 8;
  • 43) 0,407 213 259 980 8 × 2 = 0 + 0,814 426 519 961 6;
  • 44) 0,814 426 519 961 6 × 2 = 1 + 0,628 853 039 923 2;
  • 45) 0,628 853 039 923 2 × 2 = 1 + 0,257 706 079 846 4;
  • 46) 0,257 706 079 846 4 × 2 = 0 + 0,515 412 159 692 8;
  • 47) 0,515 412 159 692 8 × 2 = 1 + 0,030 824 319 385 6;
  • 48) 0,030 824 319 385 6 × 2 = 0 + 0,061 648 638 771 2;
  • 49) 0,061 648 638 771 2 × 2 = 0 + 0,123 297 277 542 4;
  • 50) 0,123 297 277 542 4 × 2 = 0 + 0,246 594 555 084 8;
  • 51) 0,246 594 555 084 8 × 2 = 0 + 0,493 189 110 169 6;
  • 52) 0,493 189 110 169 6 × 2 = 0 + 0,986 378 220 339 2;
  • 53) 0,986 378 220 339 2 × 2 = 1 + 0,972 756 440 678 4;
  • 54) 0,972 756 440 678 4 × 2 = 1 + 0,945 512 881 356 8;
  • 55) 0,945 512 881 356 8 × 2 = 1 + 0,891 025 762 713 6;
  • 56) 0,891 025 762 713 6 × 2 = 1 + 0,782 051 525 427 2;
  • 57) 0,782 051 525 427 2 × 2 = 1 + 0,564 103 050 854 4;
  • 58) 0,564 103 050 854 4 × 2 = 1 + 0,128 206 101 708 8;
  • 59) 0,128 206 101 708 8 × 2 = 0 + 0,256 412 203 417 6;
  • 60) 0,256 412 203 417 6 × 2 = 0 + 0,512 824 406 835 2;
  • 61) 0,512 824 406 835 2 × 2 = 1 + 0,025 648 813 670 4;
  • 62) 0,025 648 813 670 4 × 2 = 0 + 0,051 297 627 340 8;
  • 63) 0,051 297 627 340 8 × 2 = 0 + 0,102 595 254 681 6;
  • 64) 0,102 595 254 681 6 × 2 = 0 + 0,205 190 509 363 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 940 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 940 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 940 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 940 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 0101 1010 0000 1111 1100 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 935 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100