-0,000 282 005 940 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 940 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 940 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 940 7| = 0,000 282 005 940 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 940 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 940 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 881 4;
  • 2) 0,000 564 011 881 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 762 8;
  • 3) 0,001 128 023 762 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 525 6;
  • 4) 0,002 256 047 525 6 × 2 = 0 + 0,004 512 095 051 2;
  • 5) 0,004 512 095 051 2 × 2 = 0 + 0,009 024 190 102 4;
  • 6) 0,009 024 190 102 4 × 2 = 0 + 0,018 048 380 204 8;
  • 7) 0,018 048 380 204 8 × 2 = 0 + 0,036 096 760 409 6;
  • 8) 0,036 096 760 409 6 × 2 = 0 + 0,072 193 520 819 2;
  • 9) 0,072 193 520 819 2 × 2 = 0 + 0,144 387 041 638 4;
  • 10) 0,144 387 041 638 4 × 2 = 0 + 0,288 774 083 276 8;
  • 11) 0,288 774 083 276 8 × 2 = 0 + 0,577 548 166 553 6;
  • 12) 0,577 548 166 553 6 × 2 = 1 + 0,155 096 333 107 2;
  • 13) 0,155 096 333 107 2 × 2 = 0 + 0,310 192 666 214 4;
  • 14) 0,310 192 666 214 4 × 2 = 0 + 0,620 385 332 428 8;
  • 15) 0,620 385 332 428 8 × 2 = 1 + 0,240 770 664 857 6;
  • 16) 0,240 770 664 857 6 × 2 = 0 + 0,481 541 329 715 2;
  • 17) 0,481 541 329 715 2 × 2 = 0 + 0,963 082 659 430 4;
  • 18) 0,963 082 659 430 4 × 2 = 1 + 0,926 165 318 860 8;
  • 19) 0,926 165 318 860 8 × 2 = 1 + 0,852 330 637 721 6;
  • 20) 0,852 330 637 721 6 × 2 = 1 + 0,704 661 275 443 2;
  • 21) 0,704 661 275 443 2 × 2 = 1 + 0,409 322 550 886 4;
  • 22) 0,409 322 550 886 4 × 2 = 0 + 0,818 645 101 772 8;
  • 23) 0,818 645 101 772 8 × 2 = 1 + 0,637 290 203 545 6;
  • 24) 0,637 290 203 545 6 × 2 = 1 + 0,274 580 407 091 2;
  • 25) 0,274 580 407 091 2 × 2 = 0 + 0,549 160 814 182 4;
  • 26) 0,549 160 814 182 4 × 2 = 1 + 0,098 321 628 364 8;
  • 27) 0,098 321 628 364 8 × 2 = 0 + 0,196 643 256 729 6;
  • 28) 0,196 643 256 729 6 × 2 = 0 + 0,393 286 513 459 2;
  • 29) 0,393 286 513 459 2 × 2 = 0 + 0,786 573 026 918 4;
  • 30) 0,786 573 026 918 4 × 2 = 1 + 0,573 146 053 836 8;
  • 31) 0,573 146 053 836 8 × 2 = 1 + 0,146 292 107 673 6;
  • 32) 0,146 292 107 673 6 × 2 = 0 + 0,292 584 215 347 2;
  • 33) 0,292 584 215 347 2 × 2 = 0 + 0,585 168 430 694 4;
  • 34) 0,585 168 430 694 4 × 2 = 1 + 0,170 336 861 388 8;
  • 35) 0,170 336 861 388 8 × 2 = 0 + 0,340 673 722 777 6;
  • 36) 0,340 673 722 777 6 × 2 = 0 + 0,681 347 445 555 2;
  • 37) 0,681 347 445 555 2 × 2 = 1 + 0,362 694 891 110 4;
  • 38) 0,362 694 891 110 4 × 2 = 0 + 0,725 389 782 220 8;
  • 39) 0,725 389 782 220 8 × 2 = 1 + 0,450 779 564 441 6;
  • 40) 0,450 779 564 441 6 × 2 = 0 + 0,901 559 128 883 2;
  • 41) 0,901 559 128 883 2 × 2 = 1 + 0,803 118 257 766 4;
  • 42) 0,803 118 257 766 4 × 2 = 1 + 0,606 236 515 532 8;
  • 43) 0,606 236 515 532 8 × 2 = 1 + 0,212 473 031 065 6;
  • 44) 0,212 473 031 065 6 × 2 = 0 + 0,424 946 062 131 2;
  • 45) 0,424 946 062 131 2 × 2 = 0 + 0,849 892 124 262 4;
  • 46) 0,849 892 124 262 4 × 2 = 1 + 0,699 784 248 524 8;
  • 47) 0,699 784 248 524 8 × 2 = 1 + 0,399 568 497 049 6;
  • 48) 0,399 568 497 049 6 × 2 = 0 + 0,799 136 994 099 2;
  • 49) 0,799 136 994 099 2 × 2 = 1 + 0,598 273 988 198 4;
  • 50) 0,598 273 988 198 4 × 2 = 1 + 0,196 547 976 396 8;
  • 51) 0,196 547 976 396 8 × 2 = 0 + 0,393 095 952 793 6;
  • 52) 0,393 095 952 793 6 × 2 = 0 + 0,786 191 905 587 2;
  • 53) 0,786 191 905 587 2 × 2 = 1 + 0,572 383 811 174 4;
  • 54) 0,572 383 811 174 4 × 2 = 1 + 0,144 767 622 348 8;
  • 55) 0,144 767 622 348 8 × 2 = 0 + 0,289 535 244 697 6;
  • 56) 0,289 535 244 697 6 × 2 = 0 + 0,579 070 489 395 2;
  • 57) 0,579 070 489 395 2 × 2 = 1 + 0,158 140 978 790 4;
  • 58) 0,158 140 978 790 4 × 2 = 0 + 0,316 281 957 580 8;
  • 59) 0,316 281 957 580 8 × 2 = 0 + 0,632 563 915 161 6;
  • 60) 0,632 563 915 161 6 × 2 = 1 + 0,265 127 830 323 2;
  • 61) 0,265 127 830 323 2 × 2 = 0 + 0,530 255 660 646 4;
  • 62) 0,530 255 660 646 4 × 2 = 1 + 0,060 511 321 292 8;
  • 63) 0,060 511 321 292 8 × 2 = 0 + 0,121 022 642 585 6;
  • 64) 0,121 022 642 585 6 × 2 = 0 + 0,242 045 285 171 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 940 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 940 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 940 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 940 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1010 1110 0110 1100 1100 1001 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 949 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100