-0,000 282 005 941 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 941 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 941 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 941 3| = 0,000 282 005 941 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 941 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 941 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 882 6;
  • 2) 0,000 564 011 882 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 765 2;
  • 3) 0,001 128 023 765 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 530 4;
  • 4) 0,002 256 047 530 4 × 2 = 0 + 0,004 512 095 060 8;
  • 5) 0,004 512 095 060 8 × 2 = 0 + 0,009 024 190 121 6;
  • 6) 0,009 024 190 121 6 × 2 = 0 + 0,018 048 380 243 2;
  • 7) 0,018 048 380 243 2 × 2 = 0 + 0,036 096 760 486 4;
  • 8) 0,036 096 760 486 4 × 2 = 0 + 0,072 193 520 972 8;
  • 9) 0,072 193 520 972 8 × 2 = 0 + 0,144 387 041 945 6;
  • 10) 0,144 387 041 945 6 × 2 = 0 + 0,288 774 083 891 2;
  • 11) 0,288 774 083 891 2 × 2 = 0 + 0,577 548 167 782 4;
  • 12) 0,577 548 167 782 4 × 2 = 1 + 0,155 096 335 564 8;
  • 13) 0,155 096 335 564 8 × 2 = 0 + 0,310 192 671 129 6;
  • 14) 0,310 192 671 129 6 × 2 = 0 + 0,620 385 342 259 2;
  • 15) 0,620 385 342 259 2 × 2 = 1 + 0,240 770 684 518 4;
  • 16) 0,240 770 684 518 4 × 2 = 0 + 0,481 541 369 036 8;
  • 17) 0,481 541 369 036 8 × 2 = 0 + 0,963 082 738 073 6;
  • 18) 0,963 082 738 073 6 × 2 = 1 + 0,926 165 476 147 2;
  • 19) 0,926 165 476 147 2 × 2 = 1 + 0,852 330 952 294 4;
  • 20) 0,852 330 952 294 4 × 2 = 1 + 0,704 661 904 588 8;
  • 21) 0,704 661 904 588 8 × 2 = 1 + 0,409 323 809 177 6;
  • 22) 0,409 323 809 177 6 × 2 = 0 + 0,818 647 618 355 2;
  • 23) 0,818 647 618 355 2 × 2 = 1 + 0,637 295 236 710 4;
  • 24) 0,637 295 236 710 4 × 2 = 1 + 0,274 590 473 420 8;
  • 25) 0,274 590 473 420 8 × 2 = 0 + 0,549 180 946 841 6;
  • 26) 0,549 180 946 841 6 × 2 = 1 + 0,098 361 893 683 2;
  • 27) 0,098 361 893 683 2 × 2 = 0 + 0,196 723 787 366 4;
  • 28) 0,196 723 787 366 4 × 2 = 0 + 0,393 447 574 732 8;
  • 29) 0,393 447 574 732 8 × 2 = 0 + 0,786 895 149 465 6;
  • 30) 0,786 895 149 465 6 × 2 = 1 + 0,573 790 298 931 2;
  • 31) 0,573 790 298 931 2 × 2 = 1 + 0,147 580 597 862 4;
  • 32) 0,147 580 597 862 4 × 2 = 0 + 0,295 161 195 724 8;
  • 33) 0,295 161 195 724 8 × 2 = 0 + 0,590 322 391 449 6;
  • 34) 0,590 322 391 449 6 × 2 = 1 + 0,180 644 782 899 2;
  • 35) 0,180 644 782 899 2 × 2 = 0 + 0,361 289 565 798 4;
  • 36) 0,361 289 565 798 4 × 2 = 0 + 0,722 579 131 596 8;
  • 37) 0,722 579 131 596 8 × 2 = 1 + 0,445 158 263 193 6;
  • 38) 0,445 158 263 193 6 × 2 = 0 + 0,890 316 526 387 2;
  • 39) 0,890 316 526 387 2 × 2 = 1 + 0,780 633 052 774 4;
  • 40) 0,780 633 052 774 4 × 2 = 1 + 0,561 266 105 548 8;
  • 41) 0,561 266 105 548 8 × 2 = 1 + 0,122 532 211 097 6;
  • 42) 0,122 532 211 097 6 × 2 = 0 + 0,245 064 422 195 2;
  • 43) 0,245 064 422 195 2 × 2 = 0 + 0,490 128 844 390 4;
  • 44) 0,490 128 844 390 4 × 2 = 0 + 0,980 257 688 780 8;
  • 45) 0,980 257 688 780 8 × 2 = 1 + 0,960 515 377 561 6;
  • 46) 0,960 515 377 561 6 × 2 = 1 + 0,921 030 755 123 2;
  • 47) 0,921 030 755 123 2 × 2 = 1 + 0,842 061 510 246 4;
  • 48) 0,842 061 510 246 4 × 2 = 1 + 0,684 123 020 492 8;
  • 49) 0,684 123 020 492 8 × 2 = 1 + 0,368 246 040 985 6;
  • 50) 0,368 246 040 985 6 × 2 = 0 + 0,736 492 081 971 2;
  • 51) 0,736 492 081 971 2 × 2 = 1 + 0,472 984 163 942 4;
  • 52) 0,472 984 163 942 4 × 2 = 0 + 0,945 968 327 884 8;
  • 53) 0,945 968 327 884 8 × 2 = 1 + 0,891 936 655 769 6;
  • 54) 0,891 936 655 769 6 × 2 = 1 + 0,783 873 311 539 2;
  • 55) 0,783 873 311 539 2 × 2 = 1 + 0,567 746 623 078 4;
  • 56) 0,567 746 623 078 4 × 2 = 1 + 0,135 493 246 156 8;
  • 57) 0,135 493 246 156 8 × 2 = 0 + 0,270 986 492 313 6;
  • 58) 0,270 986 492 313 6 × 2 = 0 + 0,541 972 984 627 2;
  • 59) 0,541 972 984 627 2 × 2 = 1 + 0,083 945 969 254 4;
  • 60) 0,083 945 969 254 4 × 2 = 0 + 0,167 891 938 508 8;
  • 61) 0,167 891 938 508 8 × 2 = 0 + 0,335 783 877 017 6;
  • 62) 0,335 783 877 017 6 × 2 = 0 + 0,671 567 754 035 2;
  • 63) 0,671 567 754 035 2 × 2 = 1 + 0,343 135 508 070 4;
  • 64) 0,343 135 508 070 4 × 2 = 0 + 0,686 271 016 140 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 941 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 941 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 941 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 941 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 1000 1111 1010 1111 0010 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 942 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100