-0,000 282 005 942 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 942 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 942 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 942 3| = 0,000 282 005 942 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 942 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 942 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 884 6;
  • 2) 0,000 564 011 884 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 769 2;
  • 3) 0,001 128 023 769 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 538 4;
  • 4) 0,002 256 047 538 4 × 2 = 0 + 0,004 512 095 076 8;
  • 5) 0,004 512 095 076 8 × 2 = 0 + 0,009 024 190 153 6;
  • 6) 0,009 024 190 153 6 × 2 = 0 + 0,018 048 380 307 2;
  • 7) 0,018 048 380 307 2 × 2 = 0 + 0,036 096 760 614 4;
  • 8) 0,036 096 760 614 4 × 2 = 0 + 0,072 193 521 228 8;
  • 9) 0,072 193 521 228 8 × 2 = 0 + 0,144 387 042 457 6;
  • 10) 0,144 387 042 457 6 × 2 = 0 + 0,288 774 084 915 2;
  • 11) 0,288 774 084 915 2 × 2 = 0 + 0,577 548 169 830 4;
  • 12) 0,577 548 169 830 4 × 2 = 1 + 0,155 096 339 660 8;
  • 13) 0,155 096 339 660 8 × 2 = 0 + 0,310 192 679 321 6;
  • 14) 0,310 192 679 321 6 × 2 = 0 + 0,620 385 358 643 2;
  • 15) 0,620 385 358 643 2 × 2 = 1 + 0,240 770 717 286 4;
  • 16) 0,240 770 717 286 4 × 2 = 0 + 0,481 541 434 572 8;
  • 17) 0,481 541 434 572 8 × 2 = 0 + 0,963 082 869 145 6;
  • 18) 0,963 082 869 145 6 × 2 = 1 + 0,926 165 738 291 2;
  • 19) 0,926 165 738 291 2 × 2 = 1 + 0,852 331 476 582 4;
  • 20) 0,852 331 476 582 4 × 2 = 1 + 0,704 662 953 164 8;
  • 21) 0,704 662 953 164 8 × 2 = 1 + 0,409 325 906 329 6;
  • 22) 0,409 325 906 329 6 × 2 = 0 + 0,818 651 812 659 2;
  • 23) 0,818 651 812 659 2 × 2 = 1 + 0,637 303 625 318 4;
  • 24) 0,637 303 625 318 4 × 2 = 1 + 0,274 607 250 636 8;
  • 25) 0,274 607 250 636 8 × 2 = 0 + 0,549 214 501 273 6;
  • 26) 0,549 214 501 273 6 × 2 = 1 + 0,098 429 002 547 2;
  • 27) 0,098 429 002 547 2 × 2 = 0 + 0,196 858 005 094 4;
  • 28) 0,196 858 005 094 4 × 2 = 0 + 0,393 716 010 188 8;
  • 29) 0,393 716 010 188 8 × 2 = 0 + 0,787 432 020 377 6;
  • 30) 0,787 432 020 377 6 × 2 = 1 + 0,574 864 040 755 2;
  • 31) 0,574 864 040 755 2 × 2 = 1 + 0,149 728 081 510 4;
  • 32) 0,149 728 081 510 4 × 2 = 0 + 0,299 456 163 020 8;
  • 33) 0,299 456 163 020 8 × 2 = 0 + 0,598 912 326 041 6;
  • 34) 0,598 912 326 041 6 × 2 = 1 + 0,197 824 652 083 2;
  • 35) 0,197 824 652 083 2 × 2 = 0 + 0,395 649 304 166 4;
  • 36) 0,395 649 304 166 4 × 2 = 0 + 0,791 298 608 332 8;
  • 37) 0,791 298 608 332 8 × 2 = 1 + 0,582 597 216 665 6;
  • 38) 0,582 597 216 665 6 × 2 = 1 + 0,165 194 433 331 2;
  • 39) 0,165 194 433 331 2 × 2 = 0 + 0,330 388 866 662 4;
  • 40) 0,330 388 866 662 4 × 2 = 0 + 0,660 777 733 324 8;
  • 41) 0,660 777 733 324 8 × 2 = 1 + 0,321 555 466 649 6;
  • 42) 0,321 555 466 649 6 × 2 = 0 + 0,643 110 933 299 2;
  • 43) 0,643 110 933 299 2 × 2 = 1 + 0,286 221 866 598 4;
  • 44) 0,286 221 866 598 4 × 2 = 0 + 0,572 443 733 196 8;
  • 45) 0,572 443 733 196 8 × 2 = 1 + 0,144 887 466 393 6;
  • 46) 0,144 887 466 393 6 × 2 = 0 + 0,289 774 932 787 2;
  • 47) 0,289 774 932 787 2 × 2 = 0 + 0,579 549 865 574 4;
  • 48) 0,579 549 865 574 4 × 2 = 1 + 0,159 099 731 148 8;
  • 49) 0,159 099 731 148 8 × 2 = 0 + 0,318 199 462 297 6;
  • 50) 0,318 199 462 297 6 × 2 = 0 + 0,636 398 924 595 2;
  • 51) 0,636 398 924 595 2 × 2 = 1 + 0,272 797 849 190 4;
  • 52) 0,272 797 849 190 4 × 2 = 0 + 0,545 595 698 380 8;
  • 53) 0,545 595 698 380 8 × 2 = 1 + 0,091 191 396 761 6;
  • 54) 0,091 191 396 761 6 × 2 = 0 + 0,182 382 793 523 2;
  • 55) 0,182 382 793 523 2 × 2 = 0 + 0,364 765 587 046 4;
  • 56) 0,364 765 587 046 4 × 2 = 0 + 0,729 531 174 092 8;
  • 57) 0,729 531 174 092 8 × 2 = 1 + 0,459 062 348 185 6;
  • 58) 0,459 062 348 185 6 × 2 = 0 + 0,918 124 696 371 2;
  • 59) 0,918 124 696 371 2 × 2 = 1 + 0,836 249 392 742 4;
  • 60) 0,836 249 392 742 4 × 2 = 1 + 0,672 498 785 484 8;
  • 61) 0,672 498 785 484 8 × 2 = 1 + 0,344 997 570 969 6;
  • 62) 0,344 997 570 969 6 × 2 = 0 + 0,689 995 141 939 2;
  • 63) 0,689 995 141 939 2 × 2 = 1 + 0,379 990 283 878 4;
  • 64) 0,379 990 283 878 4 × 2 = 0 + 0,759 980 567 756 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 942 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 942 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 942 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 942 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 1010 1001 0010 1000 1011 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 941 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100