-0,000 282 005 941 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 941 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 941 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 941 8| = 0,000 282 005 941 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 941 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 941 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 883 6;
  • 2) 0,000 564 011 883 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 767 2;
  • 3) 0,001 128 023 767 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 534 4;
  • 4) 0,002 256 047 534 4 × 2 = 0 + 0,004 512 095 068 8;
  • 5) 0,004 512 095 068 8 × 2 = 0 + 0,009 024 190 137 6;
  • 6) 0,009 024 190 137 6 × 2 = 0 + 0,018 048 380 275 2;
  • 7) 0,018 048 380 275 2 × 2 = 0 + 0,036 096 760 550 4;
  • 8) 0,036 096 760 550 4 × 2 = 0 + 0,072 193 521 100 8;
  • 9) 0,072 193 521 100 8 × 2 = 0 + 0,144 387 042 201 6;
  • 10) 0,144 387 042 201 6 × 2 = 0 + 0,288 774 084 403 2;
  • 11) 0,288 774 084 403 2 × 2 = 0 + 0,577 548 168 806 4;
  • 12) 0,577 548 168 806 4 × 2 = 1 + 0,155 096 337 612 8;
  • 13) 0,155 096 337 612 8 × 2 = 0 + 0,310 192 675 225 6;
  • 14) 0,310 192 675 225 6 × 2 = 0 + 0,620 385 350 451 2;
  • 15) 0,620 385 350 451 2 × 2 = 1 + 0,240 770 700 902 4;
  • 16) 0,240 770 700 902 4 × 2 = 0 + 0,481 541 401 804 8;
  • 17) 0,481 541 401 804 8 × 2 = 0 + 0,963 082 803 609 6;
  • 18) 0,963 082 803 609 6 × 2 = 1 + 0,926 165 607 219 2;
  • 19) 0,926 165 607 219 2 × 2 = 1 + 0,852 331 214 438 4;
  • 20) 0,852 331 214 438 4 × 2 = 1 + 0,704 662 428 876 8;
  • 21) 0,704 662 428 876 8 × 2 = 1 + 0,409 324 857 753 6;
  • 22) 0,409 324 857 753 6 × 2 = 0 + 0,818 649 715 507 2;
  • 23) 0,818 649 715 507 2 × 2 = 1 + 0,637 299 431 014 4;
  • 24) 0,637 299 431 014 4 × 2 = 1 + 0,274 598 862 028 8;
  • 25) 0,274 598 862 028 8 × 2 = 0 + 0,549 197 724 057 6;
  • 26) 0,549 197 724 057 6 × 2 = 1 + 0,098 395 448 115 2;
  • 27) 0,098 395 448 115 2 × 2 = 0 + 0,196 790 896 230 4;
  • 28) 0,196 790 896 230 4 × 2 = 0 + 0,393 581 792 460 8;
  • 29) 0,393 581 792 460 8 × 2 = 0 + 0,787 163 584 921 6;
  • 30) 0,787 163 584 921 6 × 2 = 1 + 0,574 327 169 843 2;
  • 31) 0,574 327 169 843 2 × 2 = 1 + 0,148 654 339 686 4;
  • 32) 0,148 654 339 686 4 × 2 = 0 + 0,297 308 679 372 8;
  • 33) 0,297 308 679 372 8 × 2 = 0 + 0,594 617 358 745 6;
  • 34) 0,594 617 358 745 6 × 2 = 1 + 0,189 234 717 491 2;
  • 35) 0,189 234 717 491 2 × 2 = 0 + 0,378 469 434 982 4;
  • 36) 0,378 469 434 982 4 × 2 = 0 + 0,756 938 869 964 8;
  • 37) 0,756 938 869 964 8 × 2 = 1 + 0,513 877 739 929 6;
  • 38) 0,513 877 739 929 6 × 2 = 1 + 0,027 755 479 859 2;
  • 39) 0,027 755 479 859 2 × 2 = 0 + 0,055 510 959 718 4;
  • 40) 0,055 510 959 718 4 × 2 = 0 + 0,111 021 919 436 8;
  • 41) 0,111 021 919 436 8 × 2 = 0 + 0,222 043 838 873 6;
  • 42) 0,222 043 838 873 6 × 2 = 0 + 0,444 087 677 747 2;
  • 43) 0,444 087 677 747 2 × 2 = 0 + 0,888 175 355 494 4;
  • 44) 0,888 175 355 494 4 × 2 = 1 + 0,776 350 710 988 8;
  • 45) 0,776 350 710 988 8 × 2 = 1 + 0,552 701 421 977 6;
  • 46) 0,552 701 421 977 6 × 2 = 1 + 0,105 402 843 955 2;
  • 47) 0,105 402 843 955 2 × 2 = 0 + 0,210 805 687 910 4;
  • 48) 0,210 805 687 910 4 × 2 = 0 + 0,421 611 375 820 8;
  • 49) 0,421 611 375 820 8 × 2 = 0 + 0,843 222 751 641 6;
  • 50) 0,843 222 751 641 6 × 2 = 1 + 0,686 445 503 283 2;
  • 51) 0,686 445 503 283 2 × 2 = 1 + 0,372 891 006 566 4;
  • 52) 0,372 891 006 566 4 × 2 = 0 + 0,745 782 013 132 8;
  • 53) 0,745 782 013 132 8 × 2 = 1 + 0,491 564 026 265 6;
  • 54) 0,491 564 026 265 6 × 2 = 0 + 0,983 128 052 531 2;
  • 55) 0,983 128 052 531 2 × 2 = 1 + 0,966 256 105 062 4;
  • 56) 0,966 256 105 062 4 × 2 = 1 + 0,932 512 210 124 8;
  • 57) 0,932 512 210 124 8 × 2 = 1 + 0,865 024 420 249 6;
  • 58) 0,865 024 420 249 6 × 2 = 1 + 0,730 048 840 499 2;
  • 59) 0,730 048 840 499 2 × 2 = 1 + 0,460 097 680 998 4;
  • 60) 0,460 097 680 998 4 × 2 = 0 + 0,920 195 361 996 8;
  • 61) 0,920 195 361 996 8 × 2 = 1 + 0,840 390 723 993 6;
  • 62) 0,840 390 723 993 6 × 2 = 1 + 0,680 781 447 987 2;
  • 63) 0,680 781 447 987 2 × 2 = 1 + 0,361 562 895 974 4;
  • 64) 0,361 562 895 974 4 × 2 = 0 + 0,723 125 791 948 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 941 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 941 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 941 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 941 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0001 1100 0110 1011 1110 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 947 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100