-0,000 282 005 945 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 945 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 945 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 945 9| = 0,000 282 005 945 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 945 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 945 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 891 8;
  • 2) 0,000 564 011 891 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 783 6;
  • 3) 0,001 128 023 783 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 567 2;
  • 4) 0,002 256 047 567 2 × 2 = 0 + 0,004 512 095 134 4;
  • 5) 0,004 512 095 134 4 × 2 = 0 + 0,009 024 190 268 8;
  • 6) 0,009 024 190 268 8 × 2 = 0 + 0,018 048 380 537 6;
  • 7) 0,018 048 380 537 6 × 2 = 0 + 0,036 096 761 075 2;
  • 8) 0,036 096 761 075 2 × 2 = 0 + 0,072 193 522 150 4;
  • 9) 0,072 193 522 150 4 × 2 = 0 + 0,144 387 044 300 8;
  • 10) 0,144 387 044 300 8 × 2 = 0 + 0,288 774 088 601 6;
  • 11) 0,288 774 088 601 6 × 2 = 0 + 0,577 548 177 203 2;
  • 12) 0,577 548 177 203 2 × 2 = 1 + 0,155 096 354 406 4;
  • 13) 0,155 096 354 406 4 × 2 = 0 + 0,310 192 708 812 8;
  • 14) 0,310 192 708 812 8 × 2 = 0 + 0,620 385 417 625 6;
  • 15) 0,620 385 417 625 6 × 2 = 1 + 0,240 770 835 251 2;
  • 16) 0,240 770 835 251 2 × 2 = 0 + 0,481 541 670 502 4;
  • 17) 0,481 541 670 502 4 × 2 = 0 + 0,963 083 341 004 8;
  • 18) 0,963 083 341 004 8 × 2 = 1 + 0,926 166 682 009 6;
  • 19) 0,926 166 682 009 6 × 2 = 1 + 0,852 333 364 019 2;
  • 20) 0,852 333 364 019 2 × 2 = 1 + 0,704 666 728 038 4;
  • 21) 0,704 666 728 038 4 × 2 = 1 + 0,409 333 456 076 8;
  • 22) 0,409 333 456 076 8 × 2 = 0 + 0,818 666 912 153 6;
  • 23) 0,818 666 912 153 6 × 2 = 1 + 0,637 333 824 307 2;
  • 24) 0,637 333 824 307 2 × 2 = 1 + 0,274 667 648 614 4;
  • 25) 0,274 667 648 614 4 × 2 = 0 + 0,549 335 297 228 8;
  • 26) 0,549 335 297 228 8 × 2 = 1 + 0,098 670 594 457 6;
  • 27) 0,098 670 594 457 6 × 2 = 0 + 0,197 341 188 915 2;
  • 28) 0,197 341 188 915 2 × 2 = 0 + 0,394 682 377 830 4;
  • 29) 0,394 682 377 830 4 × 2 = 0 + 0,789 364 755 660 8;
  • 30) 0,789 364 755 660 8 × 2 = 1 + 0,578 729 511 321 6;
  • 31) 0,578 729 511 321 6 × 2 = 1 + 0,157 459 022 643 2;
  • 32) 0,157 459 022 643 2 × 2 = 0 + 0,314 918 045 286 4;
  • 33) 0,314 918 045 286 4 × 2 = 0 + 0,629 836 090 572 8;
  • 34) 0,629 836 090 572 8 × 2 = 1 + 0,259 672 181 145 6;
  • 35) 0,259 672 181 145 6 × 2 = 0 + 0,519 344 362 291 2;
  • 36) 0,519 344 362 291 2 × 2 = 1 + 0,038 688 724 582 4;
  • 37) 0,038 688 724 582 4 × 2 = 0 + 0,077 377 449 164 8;
  • 38) 0,077 377 449 164 8 × 2 = 0 + 0,154 754 898 329 6;
  • 39) 0,154 754 898 329 6 × 2 = 0 + 0,309 509 796 659 2;
  • 40) 0,309 509 796 659 2 × 2 = 0 + 0,619 019 593 318 4;
  • 41) 0,619 019 593 318 4 × 2 = 1 + 0,238 039 186 636 8;
  • 42) 0,238 039 186 636 8 × 2 = 0 + 0,476 078 373 273 6;
  • 43) 0,476 078 373 273 6 × 2 = 0 + 0,952 156 746 547 2;
  • 44) 0,952 156 746 547 2 × 2 = 1 + 0,904 313 493 094 4;
  • 45) 0,904 313 493 094 4 × 2 = 1 + 0,808 626 986 188 8;
  • 46) 0,808 626 986 188 8 × 2 = 1 + 0,617 253 972 377 6;
  • 47) 0,617 253 972 377 6 × 2 = 1 + 0,234 507 944 755 2;
  • 48) 0,234 507 944 755 2 × 2 = 0 + 0,469 015 889 510 4;
  • 49) 0,469 015 889 510 4 × 2 = 0 + 0,938 031 779 020 8;
  • 50) 0,938 031 779 020 8 × 2 = 1 + 0,876 063 558 041 6;
  • 51) 0,876 063 558 041 6 × 2 = 1 + 0,752 127 116 083 2;
  • 52) 0,752 127 116 083 2 × 2 = 1 + 0,504 254 232 166 4;
  • 53) 0,504 254 232 166 4 × 2 = 1 + 0,008 508 464 332 8;
  • 54) 0,008 508 464 332 8 × 2 = 0 + 0,017 016 928 665 6;
  • 55) 0,017 016 928 665 6 × 2 = 0 + 0,034 033 857 331 2;
  • 56) 0,034 033 857 331 2 × 2 = 0 + 0,068 067 714 662 4;
  • 57) 0,068 067 714 662 4 × 2 = 0 + 0,136 135 429 324 8;
  • 58) 0,136 135 429 324 8 × 2 = 0 + 0,272 270 858 649 6;
  • 59) 0,272 270 858 649 6 × 2 = 0 + 0,544 541 717 299 2;
  • 60) 0,544 541 717 299 2 × 2 = 1 + 0,089 083 434 598 4;
  • 61) 0,089 083 434 598 4 × 2 = 0 + 0,178 166 869 196 8;
  • 62) 0,178 166 869 196 8 × 2 = 0 + 0,356 333 738 393 6;
  • 63) 0,356 333 738 393 6 × 2 = 0 + 0,712 667 476 787 2;
  • 64) 0,712 667 476 787 2 × 2 = 1 + 0,425 334 953 574 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 945 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 945 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 945 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 945 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1001 1110 0111 1000 0001 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 953 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100