-0,000 282 005 953 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 953 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 953 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 953 4| = 0,000 282 005 953 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 953 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 953 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 906 8;
  • 2) 0,000 564 011 906 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 813 6;
  • 3) 0,001 128 023 813 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 627 2;
  • 4) 0,002 256 047 627 2 × 2 = 0 + 0,004 512 095 254 4;
  • 5) 0,004 512 095 254 4 × 2 = 0 + 0,009 024 190 508 8;
  • 6) 0,009 024 190 508 8 × 2 = 0 + 0,018 048 381 017 6;
  • 7) 0,018 048 381 017 6 × 2 = 0 + 0,036 096 762 035 2;
  • 8) 0,036 096 762 035 2 × 2 = 0 + 0,072 193 524 070 4;
  • 9) 0,072 193 524 070 4 × 2 = 0 + 0,144 387 048 140 8;
  • 10) 0,144 387 048 140 8 × 2 = 0 + 0,288 774 096 281 6;
  • 11) 0,288 774 096 281 6 × 2 = 0 + 0,577 548 192 563 2;
  • 12) 0,577 548 192 563 2 × 2 = 1 + 0,155 096 385 126 4;
  • 13) 0,155 096 385 126 4 × 2 = 0 + 0,310 192 770 252 8;
  • 14) 0,310 192 770 252 8 × 2 = 0 + 0,620 385 540 505 6;
  • 15) 0,620 385 540 505 6 × 2 = 1 + 0,240 771 081 011 2;
  • 16) 0,240 771 081 011 2 × 2 = 0 + 0,481 542 162 022 4;
  • 17) 0,481 542 162 022 4 × 2 = 0 + 0,963 084 324 044 8;
  • 18) 0,963 084 324 044 8 × 2 = 1 + 0,926 168 648 089 6;
  • 19) 0,926 168 648 089 6 × 2 = 1 + 0,852 337 296 179 2;
  • 20) 0,852 337 296 179 2 × 2 = 1 + 0,704 674 592 358 4;
  • 21) 0,704 674 592 358 4 × 2 = 1 + 0,409 349 184 716 8;
  • 22) 0,409 349 184 716 8 × 2 = 0 + 0,818 698 369 433 6;
  • 23) 0,818 698 369 433 6 × 2 = 1 + 0,637 396 738 867 2;
  • 24) 0,637 396 738 867 2 × 2 = 1 + 0,274 793 477 734 4;
  • 25) 0,274 793 477 734 4 × 2 = 0 + 0,549 586 955 468 8;
  • 26) 0,549 586 955 468 8 × 2 = 1 + 0,099 173 910 937 6;
  • 27) 0,099 173 910 937 6 × 2 = 0 + 0,198 347 821 875 2;
  • 28) 0,198 347 821 875 2 × 2 = 0 + 0,396 695 643 750 4;
  • 29) 0,396 695 643 750 4 × 2 = 0 + 0,793 391 287 500 8;
  • 30) 0,793 391 287 500 8 × 2 = 1 + 0,586 782 575 001 6;
  • 31) 0,586 782 575 001 6 × 2 = 1 + 0,173 565 150 003 2;
  • 32) 0,173 565 150 003 2 × 2 = 0 + 0,347 130 300 006 4;
  • 33) 0,347 130 300 006 4 × 2 = 0 + 0,694 260 600 012 8;
  • 34) 0,694 260 600 012 8 × 2 = 1 + 0,388 521 200 025 6;
  • 35) 0,388 521 200 025 6 × 2 = 0 + 0,777 042 400 051 2;
  • 36) 0,777 042 400 051 2 × 2 = 1 + 0,554 084 800 102 4;
  • 37) 0,554 084 800 102 4 × 2 = 1 + 0,108 169 600 204 8;
  • 38) 0,108 169 600 204 8 × 2 = 0 + 0,216 339 200 409 6;
  • 39) 0,216 339 200 409 6 × 2 = 0 + 0,432 678 400 819 2;
  • 40) 0,432 678 400 819 2 × 2 = 0 + 0,865 356 801 638 4;
  • 41) 0,865 356 801 638 4 × 2 = 1 + 0,730 713 603 276 8;
  • 42) 0,730 713 603 276 8 × 2 = 1 + 0,461 427 206 553 6;
  • 43) 0,461 427 206 553 6 × 2 = 0 + 0,922 854 413 107 2;
  • 44) 0,922 854 413 107 2 × 2 = 1 + 0,845 708 826 214 4;
  • 45) 0,845 708 826 214 4 × 2 = 1 + 0,691 417 652 428 8;
  • 46) 0,691 417 652 428 8 × 2 = 1 + 0,382 835 304 857 6;
  • 47) 0,382 835 304 857 6 × 2 = 0 + 0,765 670 609 715 2;
  • 48) 0,765 670 609 715 2 × 2 = 1 + 0,531 341 219 430 4;
  • 49) 0,531 341 219 430 4 × 2 = 1 + 0,062 682 438 860 8;
  • 50) 0,062 682 438 860 8 × 2 = 0 + 0,125 364 877 721 6;
  • 51) 0,125 364 877 721 6 × 2 = 0 + 0,250 729 755 443 2;
  • 52) 0,250 729 755 443 2 × 2 = 0 + 0,501 459 510 886 4;
  • 53) 0,501 459 510 886 4 × 2 = 1 + 0,002 919 021 772 8;
  • 54) 0,002 919 021 772 8 × 2 = 0 + 0,005 838 043 545 6;
  • 55) 0,005 838 043 545 6 × 2 = 0 + 0,011 676 087 091 2;
  • 56) 0,011 676 087 091 2 × 2 = 0 + 0,023 352 174 182 4;
  • 57) 0,023 352 174 182 4 × 2 = 0 + 0,046 704 348 364 8;
  • 58) 0,046 704 348 364 8 × 2 = 0 + 0,093 408 696 729 6;
  • 59) 0,093 408 696 729 6 × 2 = 0 + 0,186 817 393 459 2;
  • 60) 0,186 817 393 459 2 × 2 = 0 + 0,373 634 786 918 4;
  • 61) 0,373 634 786 918 4 × 2 = 0 + 0,747 269 573 836 8;
  • 62) 0,747 269 573 836 8 × 2 = 1 + 0,494 539 147 673 6;
  • 63) 0,494 539 147 673 6 × 2 = 0 + 0,989 078 295 347 2;
  • 64) 0,989 078 295 347 2 × 2 = 1 + 0,978 156 590 694 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 953 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 953 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 953 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 953 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1101 1101 1000 1000 0000 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 949 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100