-0,000 282 005 949 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 949 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 949 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 949 8| = 0,000 282 005 949 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 949 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 949 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 899 6;
  • 2) 0,000 564 011 899 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 799 2;
  • 3) 0,001 128 023 799 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 598 4;
  • 4) 0,002 256 047 598 4 × 2 = 0 + 0,004 512 095 196 8;
  • 5) 0,004 512 095 196 8 × 2 = 0 + 0,009 024 190 393 6;
  • 6) 0,009 024 190 393 6 × 2 = 0 + 0,018 048 380 787 2;
  • 7) 0,018 048 380 787 2 × 2 = 0 + 0,036 096 761 574 4;
  • 8) 0,036 096 761 574 4 × 2 = 0 + 0,072 193 523 148 8;
  • 9) 0,072 193 523 148 8 × 2 = 0 + 0,144 387 046 297 6;
  • 10) 0,144 387 046 297 6 × 2 = 0 + 0,288 774 092 595 2;
  • 11) 0,288 774 092 595 2 × 2 = 0 + 0,577 548 185 190 4;
  • 12) 0,577 548 185 190 4 × 2 = 1 + 0,155 096 370 380 8;
  • 13) 0,155 096 370 380 8 × 2 = 0 + 0,310 192 740 761 6;
  • 14) 0,310 192 740 761 6 × 2 = 0 + 0,620 385 481 523 2;
  • 15) 0,620 385 481 523 2 × 2 = 1 + 0,240 770 963 046 4;
  • 16) 0,240 770 963 046 4 × 2 = 0 + 0,481 541 926 092 8;
  • 17) 0,481 541 926 092 8 × 2 = 0 + 0,963 083 852 185 6;
  • 18) 0,963 083 852 185 6 × 2 = 1 + 0,926 167 704 371 2;
  • 19) 0,926 167 704 371 2 × 2 = 1 + 0,852 335 408 742 4;
  • 20) 0,852 335 408 742 4 × 2 = 1 + 0,704 670 817 484 8;
  • 21) 0,704 670 817 484 8 × 2 = 1 + 0,409 341 634 969 6;
  • 22) 0,409 341 634 969 6 × 2 = 0 + 0,818 683 269 939 2;
  • 23) 0,818 683 269 939 2 × 2 = 1 + 0,637 366 539 878 4;
  • 24) 0,637 366 539 878 4 × 2 = 1 + 0,274 733 079 756 8;
  • 25) 0,274 733 079 756 8 × 2 = 0 + 0,549 466 159 513 6;
  • 26) 0,549 466 159 513 6 × 2 = 1 + 0,098 932 319 027 2;
  • 27) 0,098 932 319 027 2 × 2 = 0 + 0,197 864 638 054 4;
  • 28) 0,197 864 638 054 4 × 2 = 0 + 0,395 729 276 108 8;
  • 29) 0,395 729 276 108 8 × 2 = 0 + 0,791 458 552 217 6;
  • 30) 0,791 458 552 217 6 × 2 = 1 + 0,582 917 104 435 2;
  • 31) 0,582 917 104 435 2 × 2 = 1 + 0,165 834 208 870 4;
  • 32) 0,165 834 208 870 4 × 2 = 0 + 0,331 668 417 740 8;
  • 33) 0,331 668 417 740 8 × 2 = 0 + 0,663 336 835 481 6;
  • 34) 0,663 336 835 481 6 × 2 = 1 + 0,326 673 670 963 2;
  • 35) 0,326 673 670 963 2 × 2 = 0 + 0,653 347 341 926 4;
  • 36) 0,653 347 341 926 4 × 2 = 1 + 0,306 694 683 852 8;
  • 37) 0,306 694 683 852 8 × 2 = 0 + 0,613 389 367 705 6;
  • 38) 0,613 389 367 705 6 × 2 = 1 + 0,226 778 735 411 2;
  • 39) 0,226 778 735 411 2 × 2 = 0 + 0,453 557 470 822 4;
  • 40) 0,453 557 470 822 4 × 2 = 0 + 0,907 114 941 644 8;
  • 41) 0,907 114 941 644 8 × 2 = 1 + 0,814 229 883 289 6;
  • 42) 0,814 229 883 289 6 × 2 = 1 + 0,628 459 766 579 2;
  • 43) 0,628 459 766 579 2 × 2 = 1 + 0,256 919 533 158 4;
  • 44) 0,256 919 533 158 4 × 2 = 0 + 0,513 839 066 316 8;
  • 45) 0,513 839 066 316 8 × 2 = 1 + 0,027 678 132 633 6;
  • 46) 0,027 678 132 633 6 × 2 = 0 + 0,055 356 265 267 2;
  • 47) 0,055 356 265 267 2 × 2 = 0 + 0,110 712 530 534 4;
  • 48) 0,110 712 530 534 4 × 2 = 0 + 0,221 425 061 068 8;
  • 49) 0,221 425 061 068 8 × 2 = 0 + 0,442 850 122 137 6;
  • 50) 0,442 850 122 137 6 × 2 = 0 + 0,885 700 244 275 2;
  • 51) 0,885 700 244 275 2 × 2 = 1 + 0,771 400 488 550 4;
  • 52) 0,771 400 488 550 4 × 2 = 1 + 0,542 800 977 100 8;
  • 53) 0,542 800 977 100 8 × 2 = 1 + 0,085 601 954 201 6;
  • 54) 0,085 601 954 201 6 × 2 = 0 + 0,171 203 908 403 2;
  • 55) 0,171 203 908 403 2 × 2 = 0 + 0,342 407 816 806 4;
  • 56) 0,342 407 816 806 4 × 2 = 0 + 0,684 815 633 612 8;
  • 57) 0,684 815 633 612 8 × 2 = 1 + 0,369 631 267 225 6;
  • 58) 0,369 631 267 225 6 × 2 = 0 + 0,739 262 534 451 2;
  • 59) 0,739 262 534 451 2 × 2 = 1 + 0,478 525 068 902 4;
  • 60) 0,478 525 068 902 4 × 2 = 0 + 0,957 050 137 804 8;
  • 61) 0,957 050 137 804 8 × 2 = 1 + 0,914 100 275 609 6;
  • 62) 0,914 100 275 609 6 × 2 = 1 + 0,828 200 551 219 2;
  • 63) 0,828 200 551 219 2 × 2 = 1 + 0,656 401 102 438 4;
  • 64) 0,656 401 102 438 4 × 2 = 1 + 0,312 802 204 876 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 949 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 949 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 949 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 949 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 1110 1000 0011 1000 1010 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 946 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100