-0,000 282 005 953 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 953 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 953 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 953 1| = 0,000 282 005 953 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 953 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 953 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 906 2;
  • 2) 0,000 564 011 906 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 812 4;
  • 3) 0,001 128 023 812 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 624 8;
  • 4) 0,002 256 047 624 8 × 2 = 0 + 0,004 512 095 249 6;
  • 5) 0,004 512 095 249 6 × 2 = 0 + 0,009 024 190 499 2;
  • 6) 0,009 024 190 499 2 × 2 = 0 + 0,018 048 380 998 4;
  • 7) 0,018 048 380 998 4 × 2 = 0 + 0,036 096 761 996 8;
  • 8) 0,036 096 761 996 8 × 2 = 0 + 0,072 193 523 993 6;
  • 9) 0,072 193 523 993 6 × 2 = 0 + 0,144 387 047 987 2;
  • 10) 0,144 387 047 987 2 × 2 = 0 + 0,288 774 095 974 4;
  • 11) 0,288 774 095 974 4 × 2 = 0 + 0,577 548 191 948 8;
  • 12) 0,577 548 191 948 8 × 2 = 1 + 0,155 096 383 897 6;
  • 13) 0,155 096 383 897 6 × 2 = 0 + 0,310 192 767 795 2;
  • 14) 0,310 192 767 795 2 × 2 = 0 + 0,620 385 535 590 4;
  • 15) 0,620 385 535 590 4 × 2 = 1 + 0,240 771 071 180 8;
  • 16) 0,240 771 071 180 8 × 2 = 0 + 0,481 542 142 361 6;
  • 17) 0,481 542 142 361 6 × 2 = 0 + 0,963 084 284 723 2;
  • 18) 0,963 084 284 723 2 × 2 = 1 + 0,926 168 569 446 4;
  • 19) 0,926 168 569 446 4 × 2 = 1 + 0,852 337 138 892 8;
  • 20) 0,852 337 138 892 8 × 2 = 1 + 0,704 674 277 785 6;
  • 21) 0,704 674 277 785 6 × 2 = 1 + 0,409 348 555 571 2;
  • 22) 0,409 348 555 571 2 × 2 = 0 + 0,818 697 111 142 4;
  • 23) 0,818 697 111 142 4 × 2 = 1 + 0,637 394 222 284 8;
  • 24) 0,637 394 222 284 8 × 2 = 1 + 0,274 788 444 569 6;
  • 25) 0,274 788 444 569 6 × 2 = 0 + 0,549 576 889 139 2;
  • 26) 0,549 576 889 139 2 × 2 = 1 + 0,099 153 778 278 4;
  • 27) 0,099 153 778 278 4 × 2 = 0 + 0,198 307 556 556 8;
  • 28) 0,198 307 556 556 8 × 2 = 0 + 0,396 615 113 113 6;
  • 29) 0,396 615 113 113 6 × 2 = 0 + 0,793 230 226 227 2;
  • 30) 0,793 230 226 227 2 × 2 = 1 + 0,586 460 452 454 4;
  • 31) 0,586 460 452 454 4 × 2 = 1 + 0,172 920 904 908 8;
  • 32) 0,172 920 904 908 8 × 2 = 0 + 0,345 841 809 817 6;
  • 33) 0,345 841 809 817 6 × 2 = 0 + 0,691 683 619 635 2;
  • 34) 0,691 683 619 635 2 × 2 = 1 + 0,383 367 239 270 4;
  • 35) 0,383 367 239 270 4 × 2 = 0 + 0,766 734 478 540 8;
  • 36) 0,766 734 478 540 8 × 2 = 1 + 0,533 468 957 081 6;
  • 37) 0,533 468 957 081 6 × 2 = 1 + 0,066 937 914 163 2;
  • 38) 0,066 937 914 163 2 × 2 = 0 + 0,133 875 828 326 4;
  • 39) 0,133 875 828 326 4 × 2 = 0 + 0,267 751 656 652 8;
  • 40) 0,267 751 656 652 8 × 2 = 0 + 0,535 503 313 305 6;
  • 41) 0,535 503 313 305 6 × 2 = 1 + 0,071 006 626 611 2;
  • 42) 0,071 006 626 611 2 × 2 = 0 + 0,142 013 253 222 4;
  • 43) 0,142 013 253 222 4 × 2 = 0 + 0,284 026 506 444 8;
  • 44) 0,284 026 506 444 8 × 2 = 0 + 0,568 053 012 889 6;
  • 45) 0,568 053 012 889 6 × 2 = 1 + 0,136 106 025 779 2;
  • 46) 0,136 106 025 779 2 × 2 = 0 + 0,272 212 051 558 4;
  • 47) 0,272 212 051 558 4 × 2 = 0 + 0,544 424 103 116 8;
  • 48) 0,544 424 103 116 8 × 2 = 1 + 0,088 848 206 233 6;
  • 49) 0,088 848 206 233 6 × 2 = 0 + 0,177 696 412 467 2;
  • 50) 0,177 696 412 467 2 × 2 = 0 + 0,355 392 824 934 4;
  • 51) 0,355 392 824 934 4 × 2 = 0 + 0,710 785 649 868 8;
  • 52) 0,710 785 649 868 8 × 2 = 1 + 0,421 571 299 737 6;
  • 53) 0,421 571 299 737 6 × 2 = 0 + 0,843 142 599 475 2;
  • 54) 0,843 142 599 475 2 × 2 = 1 + 0,686 285 198 950 4;
  • 55) 0,686 285 198 950 4 × 2 = 1 + 0,372 570 397 900 8;
  • 56) 0,372 570 397 900 8 × 2 = 0 + 0,745 140 795 801 6;
  • 57) 0,745 140 795 801 6 × 2 = 1 + 0,490 281 591 603 2;
  • 58) 0,490 281 591 603 2 × 2 = 0 + 0,980 563 183 206 4;
  • 59) 0,980 563 183 206 4 × 2 = 1 + 0,961 126 366 412 8;
  • 60) 0,961 126 366 412 8 × 2 = 1 + 0,922 252 732 825 6;
  • 61) 0,922 252 732 825 6 × 2 = 1 + 0,844 505 465 651 2;
  • 62) 0,844 505 465 651 2 × 2 = 1 + 0,689 010 931 302 4;
  • 63) 0,689 010 931 302 4 × 2 = 1 + 0,378 021 862 604 8;
  • 64) 0,378 021 862 604 8 × 2 = 0 + 0,756 043 725 209 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 953 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 953 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 953 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 953 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1000 1000 1001 0001 0110 1011 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 950 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100