-0,000 282 006 83 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 83(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 83(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 83| = 0,000 282 006 83


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 83.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 83 × 2 = 0 + 0,000 564 013 66;
  • 2) 0,000 564 013 66 × 2 = 0 + 0,001 128 027 32;
  • 3) 0,001 128 027 32 × 2 = 0 + 0,002 256 054 64;
  • 4) 0,002 256 054 64 × 2 = 0 + 0,004 512 109 28;
  • 5) 0,004 512 109 28 × 2 = 0 + 0,009 024 218 56;
  • 6) 0,009 024 218 56 × 2 = 0 + 0,018 048 437 12;
  • 7) 0,018 048 437 12 × 2 = 0 + 0,036 096 874 24;
  • 8) 0,036 096 874 24 × 2 = 0 + 0,072 193 748 48;
  • 9) 0,072 193 748 48 × 2 = 0 + 0,144 387 496 96;
  • 10) 0,144 387 496 96 × 2 = 0 + 0,288 774 993 92;
  • 11) 0,288 774 993 92 × 2 = 0 + 0,577 549 987 84;
  • 12) 0,577 549 987 84 × 2 = 1 + 0,155 099 975 68;
  • 13) 0,155 099 975 68 × 2 = 0 + 0,310 199 951 36;
  • 14) 0,310 199 951 36 × 2 = 0 + 0,620 399 902 72;
  • 15) 0,620 399 902 72 × 2 = 1 + 0,240 799 805 44;
  • 16) 0,240 799 805 44 × 2 = 0 + 0,481 599 610 88;
  • 17) 0,481 599 610 88 × 2 = 0 + 0,963 199 221 76;
  • 18) 0,963 199 221 76 × 2 = 1 + 0,926 398 443 52;
  • 19) 0,926 398 443 52 × 2 = 1 + 0,852 796 887 04;
  • 20) 0,852 796 887 04 × 2 = 1 + 0,705 593 774 08;
  • 21) 0,705 593 774 08 × 2 = 1 + 0,411 187 548 16;
  • 22) 0,411 187 548 16 × 2 = 0 + 0,822 375 096 32;
  • 23) 0,822 375 096 32 × 2 = 1 + 0,644 750 192 64;
  • 24) 0,644 750 192 64 × 2 = 1 + 0,289 500 385 28;
  • 25) 0,289 500 385 28 × 2 = 0 + 0,579 000 770 56;
  • 26) 0,579 000 770 56 × 2 = 1 + 0,158 001 541 12;
  • 27) 0,158 001 541 12 × 2 = 0 + 0,316 003 082 24;
  • 28) 0,316 003 082 24 × 2 = 0 + 0,632 006 164 48;
  • 29) 0,632 006 164 48 × 2 = 1 + 0,264 012 328 96;
  • 30) 0,264 012 328 96 × 2 = 0 + 0,528 024 657 92;
  • 31) 0,528 024 657 92 × 2 = 1 + 0,056 049 315 84;
  • 32) 0,056 049 315 84 × 2 = 0 + 0,112 098 631 68;
  • 33) 0,112 098 631 68 × 2 = 0 + 0,224 197 263 36;
  • 34) 0,224 197 263 36 × 2 = 0 + 0,448 394 526 72;
  • 35) 0,448 394 526 72 × 2 = 0 + 0,896 789 053 44;
  • 36) 0,896 789 053 44 × 2 = 1 + 0,793 578 106 88;
  • 37) 0,793 578 106 88 × 2 = 1 + 0,587 156 213 76;
  • 38) 0,587 156 213 76 × 2 = 1 + 0,174 312 427 52;
  • 39) 0,174 312 427 52 × 2 = 0 + 0,348 624 855 04;
  • 40) 0,348 624 855 04 × 2 = 0 + 0,697 249 710 08;
  • 41) 0,697 249 710 08 × 2 = 1 + 0,394 499 420 16;
  • 42) 0,394 499 420 16 × 2 = 0 + 0,788 998 840 32;
  • 43) 0,788 998 840 32 × 2 = 1 + 0,577 997 680 64;
  • 44) 0,577 997 680 64 × 2 = 1 + 0,155 995 361 28;
  • 45) 0,155 995 361 28 × 2 = 0 + 0,311 990 722 56;
  • 46) 0,311 990 722 56 × 2 = 0 + 0,623 981 445 12;
  • 47) 0,623 981 445 12 × 2 = 1 + 0,247 962 890 24;
  • 48) 0,247 962 890 24 × 2 = 0 + 0,495 925 780 48;
  • 49) 0,495 925 780 48 × 2 = 0 + 0,991 851 560 96;
  • 50) 0,991 851 560 96 × 2 = 1 + 0,983 703 121 92;
  • 51) 0,983 703 121 92 × 2 = 1 + 0,967 406 243 84;
  • 52) 0,967 406 243 84 × 2 = 1 + 0,934 812 487 68;
  • 53) 0,934 812 487 68 × 2 = 1 + 0,869 624 975 36;
  • 54) 0,869 624 975 36 × 2 = 1 + 0,739 249 950 72;
  • 55) 0,739 249 950 72 × 2 = 1 + 0,478 499 901 44;
  • 56) 0,478 499 901 44 × 2 = 0 + 0,956 999 802 88;
  • 57) 0,956 999 802 88 × 2 = 1 + 0,913 999 605 76;
  • 58) 0,913 999 605 76 × 2 = 1 + 0,827 999 211 52;
  • 59) 0,827 999 211 52 × 2 = 1 + 0,655 998 423 04;
  • 60) 0,655 998 423 04 × 2 = 1 + 0,311 996 846 08;
  • 61) 0,311 996 846 08 × 2 = 0 + 0,623 993 692 16;
  • 62) 0,623 993 692 16 × 2 = 1 + 0,247 987 384 32;
  • 63) 0,247 987 384 32 × 2 = 0 + 0,495 974 768 64;
  • 64) 0,495 974 768 64 × 2 = 0 + 0,991 949 537 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 83(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 83(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 83(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100 =

0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100


Numărul zecimal -0,000 282 006 83 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1010 0001 1100 1011 0010 0111 1110 1111 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 14 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100