-0,000 282 007 95 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 95(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 95(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 95| = 0,000 282 007 95


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 95.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 95 × 2 = 0 + 0,000 564 015 9;
  • 2) 0,000 564 015 9 × 2 = 0 + 0,001 128 031 8;
  • 3) 0,001 128 031 8 × 2 = 0 + 0,002 256 063 6;
  • 4) 0,002 256 063 6 × 2 = 0 + 0,004 512 127 2;
  • 5) 0,004 512 127 2 × 2 = 0 + 0,009 024 254 4;
  • 6) 0,009 024 254 4 × 2 = 0 + 0,018 048 508 8;
  • 7) 0,018 048 508 8 × 2 = 0 + 0,036 097 017 6;
  • 8) 0,036 097 017 6 × 2 = 0 + 0,072 194 035 2;
  • 9) 0,072 194 035 2 × 2 = 0 + 0,144 388 070 4;
  • 10) 0,144 388 070 4 × 2 = 0 + 0,288 776 140 8;
  • 11) 0,288 776 140 8 × 2 = 0 + 0,577 552 281 6;
  • 12) 0,577 552 281 6 × 2 = 1 + 0,155 104 563 2;
  • 13) 0,155 104 563 2 × 2 = 0 + 0,310 209 126 4;
  • 14) 0,310 209 126 4 × 2 = 0 + 0,620 418 252 8;
  • 15) 0,620 418 252 8 × 2 = 1 + 0,240 836 505 6;
  • 16) 0,240 836 505 6 × 2 = 0 + 0,481 673 011 2;
  • 17) 0,481 673 011 2 × 2 = 0 + 0,963 346 022 4;
  • 18) 0,963 346 022 4 × 2 = 1 + 0,926 692 044 8;
  • 19) 0,926 692 044 8 × 2 = 1 + 0,853 384 089 6;
  • 20) 0,853 384 089 6 × 2 = 1 + 0,706 768 179 2;
  • 21) 0,706 768 179 2 × 2 = 1 + 0,413 536 358 4;
  • 22) 0,413 536 358 4 × 2 = 0 + 0,827 072 716 8;
  • 23) 0,827 072 716 8 × 2 = 1 + 0,654 145 433 6;
  • 24) 0,654 145 433 6 × 2 = 1 + 0,308 290 867 2;
  • 25) 0,308 290 867 2 × 2 = 0 + 0,616 581 734 4;
  • 26) 0,616 581 734 4 × 2 = 1 + 0,233 163 468 8;
  • 27) 0,233 163 468 8 × 2 = 0 + 0,466 326 937 6;
  • 28) 0,466 326 937 6 × 2 = 0 + 0,932 653 875 2;
  • 29) 0,932 653 875 2 × 2 = 1 + 0,865 307 750 4;
  • 30) 0,865 307 750 4 × 2 = 1 + 0,730 615 500 8;
  • 31) 0,730 615 500 8 × 2 = 1 + 0,461 231 001 6;
  • 32) 0,461 231 001 6 × 2 = 0 + 0,922 462 003 2;
  • 33) 0,922 462 003 2 × 2 = 1 + 0,844 924 006 4;
  • 34) 0,844 924 006 4 × 2 = 1 + 0,689 848 012 8;
  • 35) 0,689 848 012 8 × 2 = 1 + 0,379 696 025 6;
  • 36) 0,379 696 025 6 × 2 = 0 + 0,759 392 051 2;
  • 37) 0,759 392 051 2 × 2 = 1 + 0,518 784 102 4;
  • 38) 0,518 784 102 4 × 2 = 1 + 0,037 568 204 8;
  • 39) 0,037 568 204 8 × 2 = 0 + 0,075 136 409 6;
  • 40) 0,075 136 409 6 × 2 = 0 + 0,150 272 819 2;
  • 41) 0,150 272 819 2 × 2 = 0 + 0,300 545 638 4;
  • 42) 0,300 545 638 4 × 2 = 0 + 0,601 091 276 8;
  • 43) 0,601 091 276 8 × 2 = 1 + 0,202 182 553 6;
  • 44) 0,202 182 553 6 × 2 = 0 + 0,404 365 107 2;
  • 45) 0,404 365 107 2 × 2 = 0 + 0,808 730 214 4;
  • 46) 0,808 730 214 4 × 2 = 1 + 0,617 460 428 8;
  • 47) 0,617 460 428 8 × 2 = 1 + 0,234 920 857 6;
  • 48) 0,234 920 857 6 × 2 = 0 + 0,469 841 715 2;
  • 49) 0,469 841 715 2 × 2 = 0 + 0,939 683 430 4;
  • 50) 0,939 683 430 4 × 2 = 1 + 0,879 366 860 8;
  • 51) 0,879 366 860 8 × 2 = 1 + 0,758 733 721 6;
  • 52) 0,758 733 721 6 × 2 = 1 + 0,517 467 443 2;
  • 53) 0,517 467 443 2 × 2 = 1 + 0,034 934 886 4;
  • 54) 0,034 934 886 4 × 2 = 0 + 0,069 869 772 8;
  • 55) 0,069 869 772 8 × 2 = 0 + 0,139 739 545 6;
  • 56) 0,139 739 545 6 × 2 = 0 + 0,279 479 091 2;
  • 57) 0,279 479 091 2 × 2 = 0 + 0,558 958 182 4;
  • 58) 0,558 958 182 4 × 2 = 1 + 0,117 916 364 8;
  • 59) 0,117 916 364 8 × 2 = 0 + 0,235 832 729 6;
  • 60) 0,235 832 729 6 × 2 = 0 + 0,471 665 459 2;
  • 61) 0,471 665 459 2 × 2 = 0 + 0,943 330 918 4;
  • 62) 0,943 330 918 4 × 2 = 1 + 0,886 661 836 8;
  • 63) 0,886 661 836 8 × 2 = 1 + 0,773 323 673 6;
  • 64) 0,773 323 673 6 × 2 = 1 + 0,546 647 347 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111 =

0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 007 95 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1110 1110 1100 0010 0110 0111 1000 0100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 22 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100