-0,000 282 007 97 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 97(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 97(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 97| = 0,000 282 007 97


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 97.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 97 × 2 = 0 + 0,000 564 015 94;
  • 2) 0,000 564 015 94 × 2 = 0 + 0,001 128 031 88;
  • 3) 0,001 128 031 88 × 2 = 0 + 0,002 256 063 76;
  • 4) 0,002 256 063 76 × 2 = 0 + 0,004 512 127 52;
  • 5) 0,004 512 127 52 × 2 = 0 + 0,009 024 255 04;
  • 6) 0,009 024 255 04 × 2 = 0 + 0,018 048 510 08;
  • 7) 0,018 048 510 08 × 2 = 0 + 0,036 097 020 16;
  • 8) 0,036 097 020 16 × 2 = 0 + 0,072 194 040 32;
  • 9) 0,072 194 040 32 × 2 = 0 + 0,144 388 080 64;
  • 10) 0,144 388 080 64 × 2 = 0 + 0,288 776 161 28;
  • 11) 0,288 776 161 28 × 2 = 0 + 0,577 552 322 56;
  • 12) 0,577 552 322 56 × 2 = 1 + 0,155 104 645 12;
  • 13) 0,155 104 645 12 × 2 = 0 + 0,310 209 290 24;
  • 14) 0,310 209 290 24 × 2 = 0 + 0,620 418 580 48;
  • 15) 0,620 418 580 48 × 2 = 1 + 0,240 837 160 96;
  • 16) 0,240 837 160 96 × 2 = 0 + 0,481 674 321 92;
  • 17) 0,481 674 321 92 × 2 = 0 + 0,963 348 643 84;
  • 18) 0,963 348 643 84 × 2 = 1 + 0,926 697 287 68;
  • 19) 0,926 697 287 68 × 2 = 1 + 0,853 394 575 36;
  • 20) 0,853 394 575 36 × 2 = 1 + 0,706 789 150 72;
  • 21) 0,706 789 150 72 × 2 = 1 + 0,413 578 301 44;
  • 22) 0,413 578 301 44 × 2 = 0 + 0,827 156 602 88;
  • 23) 0,827 156 602 88 × 2 = 1 + 0,654 313 205 76;
  • 24) 0,654 313 205 76 × 2 = 1 + 0,308 626 411 52;
  • 25) 0,308 626 411 52 × 2 = 0 + 0,617 252 823 04;
  • 26) 0,617 252 823 04 × 2 = 1 + 0,234 505 646 08;
  • 27) 0,234 505 646 08 × 2 = 0 + 0,469 011 292 16;
  • 28) 0,469 011 292 16 × 2 = 0 + 0,938 022 584 32;
  • 29) 0,938 022 584 32 × 2 = 1 + 0,876 045 168 64;
  • 30) 0,876 045 168 64 × 2 = 1 + 0,752 090 337 28;
  • 31) 0,752 090 337 28 × 2 = 1 + 0,504 180 674 56;
  • 32) 0,504 180 674 56 × 2 = 1 + 0,008 361 349 12;
  • 33) 0,008 361 349 12 × 2 = 0 + 0,016 722 698 24;
  • 34) 0,016 722 698 24 × 2 = 0 + 0,033 445 396 48;
  • 35) 0,033 445 396 48 × 2 = 0 + 0,066 890 792 96;
  • 36) 0,066 890 792 96 × 2 = 0 + 0,133 781 585 92;
  • 37) 0,133 781 585 92 × 2 = 0 + 0,267 563 171 84;
  • 38) 0,267 563 171 84 × 2 = 0 + 0,535 126 343 68;
  • 39) 0,535 126 343 68 × 2 = 1 + 0,070 252 687 36;
  • 40) 0,070 252 687 36 × 2 = 0 + 0,140 505 374 72;
  • 41) 0,140 505 374 72 × 2 = 0 + 0,281 010 749 44;
  • 42) 0,281 010 749 44 × 2 = 0 + 0,562 021 498 88;
  • 43) 0,562 021 498 88 × 2 = 1 + 0,124 042 997 76;
  • 44) 0,124 042 997 76 × 2 = 0 + 0,248 085 995 52;
  • 45) 0,248 085 995 52 × 2 = 0 + 0,496 171 991 04;
  • 46) 0,496 171 991 04 × 2 = 0 + 0,992 343 982 08;
  • 47) 0,992 343 982 08 × 2 = 1 + 0,984 687 964 16;
  • 48) 0,984 687 964 16 × 2 = 1 + 0,969 375 928 32;
  • 49) 0,969 375 928 32 × 2 = 1 + 0,938 751 856 64;
  • 50) 0,938 751 856 64 × 2 = 1 + 0,877 503 713 28;
  • 51) 0,877 503 713 28 × 2 = 1 + 0,755 007 426 56;
  • 52) 0,755 007 426 56 × 2 = 1 + 0,510 014 853 12;
  • 53) 0,510 014 853 12 × 2 = 1 + 0,020 029 706 24;
  • 54) 0,020 029 706 24 × 2 = 0 + 0,040 059 412 48;
  • 55) 0,040 059 412 48 × 2 = 0 + 0,080 118 824 96;
  • 56) 0,080 118 824 96 × 2 = 0 + 0,160 237 649 92;
  • 57) 0,160 237 649 92 × 2 = 0 + 0,320 475 299 84;
  • 58) 0,320 475 299 84 × 2 = 0 + 0,640 950 599 68;
  • 59) 0,640 950 599 68 × 2 = 1 + 0,281 901 199 36;
  • 60) 0,281 901 199 36 × 2 = 0 + 0,563 802 398 72;
  • 61) 0,563 802 398 72 × 2 = 1 + 0,127 604 797 44;
  • 62) 0,127 604 797 44 × 2 = 0 + 0,255 209 594 88;
  • 63) 0,255 209 594 88 × 2 = 0 + 0,510 419 189 76;
  • 64) 0,510 419 189 76 × 2 = 1 + 0,020 838 379 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 97(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 97(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 97(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001 =

0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001


Numărul zecimal -0,000 282 007 97 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1111 0000 0010 0010 0011 1111 1000 0010 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 008 48 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100