-0,000 282 009 49 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 009 49(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 009 49(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 009 49| = 0,000 282 009 49


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 009 49.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 009 49 × 2 = 0 + 0,000 564 018 98;
  • 2) 0,000 564 018 98 × 2 = 0 + 0,001 128 037 96;
  • 3) 0,001 128 037 96 × 2 = 0 + 0,002 256 075 92;
  • 4) 0,002 256 075 92 × 2 = 0 + 0,004 512 151 84;
  • 5) 0,004 512 151 84 × 2 = 0 + 0,009 024 303 68;
  • 6) 0,009 024 303 68 × 2 = 0 + 0,018 048 607 36;
  • 7) 0,018 048 607 36 × 2 = 0 + 0,036 097 214 72;
  • 8) 0,036 097 214 72 × 2 = 0 + 0,072 194 429 44;
  • 9) 0,072 194 429 44 × 2 = 0 + 0,144 388 858 88;
  • 10) 0,144 388 858 88 × 2 = 0 + 0,288 777 717 76;
  • 11) 0,288 777 717 76 × 2 = 0 + 0,577 555 435 52;
  • 12) 0,577 555 435 52 × 2 = 1 + 0,155 110 871 04;
  • 13) 0,155 110 871 04 × 2 = 0 + 0,310 221 742 08;
  • 14) 0,310 221 742 08 × 2 = 0 + 0,620 443 484 16;
  • 15) 0,620 443 484 16 × 2 = 1 + 0,240 886 968 32;
  • 16) 0,240 886 968 32 × 2 = 0 + 0,481 773 936 64;
  • 17) 0,481 773 936 64 × 2 = 0 + 0,963 547 873 28;
  • 18) 0,963 547 873 28 × 2 = 1 + 0,927 095 746 56;
  • 19) 0,927 095 746 56 × 2 = 1 + 0,854 191 493 12;
  • 20) 0,854 191 493 12 × 2 = 1 + 0,708 382 986 24;
  • 21) 0,708 382 986 24 × 2 = 1 + 0,416 765 972 48;
  • 22) 0,416 765 972 48 × 2 = 0 + 0,833 531 944 96;
  • 23) 0,833 531 944 96 × 2 = 1 + 0,667 063 889 92;
  • 24) 0,667 063 889 92 × 2 = 1 + 0,334 127 779 84;
  • 25) 0,334 127 779 84 × 2 = 0 + 0,668 255 559 68;
  • 26) 0,668 255 559 68 × 2 = 1 + 0,336 511 119 36;
  • 27) 0,336 511 119 36 × 2 = 0 + 0,673 022 238 72;
  • 28) 0,673 022 238 72 × 2 = 1 + 0,346 044 477 44;
  • 29) 0,346 044 477 44 × 2 = 0 + 0,692 088 954 88;
  • 30) 0,692 088 954 88 × 2 = 1 + 0,384 177 909 76;
  • 31) 0,384 177 909 76 × 2 = 0 + 0,768 355 819 52;
  • 32) 0,768 355 819 52 × 2 = 1 + 0,536 711 639 04;
  • 33) 0,536 711 639 04 × 2 = 1 + 0,073 423 278 08;
  • 34) 0,073 423 278 08 × 2 = 0 + 0,146 846 556 16;
  • 35) 0,146 846 556 16 × 2 = 0 + 0,293 693 112 32;
  • 36) 0,293 693 112 32 × 2 = 0 + 0,587 386 224 64;
  • 37) 0,587 386 224 64 × 2 = 1 + 0,174 772 449 28;
  • 38) 0,174 772 449 28 × 2 = 0 + 0,349 544 898 56;
  • 39) 0,349 544 898 56 × 2 = 0 + 0,699 089 797 12;
  • 40) 0,699 089 797 12 × 2 = 1 + 0,398 179 594 24;
  • 41) 0,398 179 594 24 × 2 = 0 + 0,796 359 188 48;
  • 42) 0,796 359 188 48 × 2 = 1 + 0,592 718 376 96;
  • 43) 0,592 718 376 96 × 2 = 1 + 0,185 436 753 92;
  • 44) 0,185 436 753 92 × 2 = 0 + 0,370 873 507 84;
  • 45) 0,370 873 507 84 × 2 = 0 + 0,741 747 015 68;
  • 46) 0,741 747 015 68 × 2 = 1 + 0,483 494 031 36;
  • 47) 0,483 494 031 36 × 2 = 0 + 0,966 988 062 72;
  • 48) 0,966 988 062 72 × 2 = 1 + 0,933 976 125 44;
  • 49) 0,933 976 125 44 × 2 = 1 + 0,867 952 250 88;
  • 50) 0,867 952 250 88 × 2 = 1 + 0,735 904 501 76;
  • 51) 0,735 904 501 76 × 2 = 1 + 0,471 809 003 52;
  • 52) 0,471 809 003 52 × 2 = 0 + 0,943 618 007 04;
  • 53) 0,943 618 007 04 × 2 = 1 + 0,887 236 014 08;
  • 54) 0,887 236 014 08 × 2 = 1 + 0,774 472 028 16;
  • 55) 0,774 472 028 16 × 2 = 1 + 0,548 944 056 32;
  • 56) 0,548 944 056 32 × 2 = 1 + 0,097 888 112 64;
  • 57) 0,097 888 112 64 × 2 = 0 + 0,195 776 225 28;
  • 58) 0,195 776 225 28 × 2 = 0 + 0,391 552 450 56;
  • 59) 0,391 552 450 56 × 2 = 0 + 0,783 104 901 12;
  • 60) 0,783 104 901 12 × 2 = 1 + 0,566 209 802 24;
  • 61) 0,566 209 802 24 × 2 = 1 + 0,132 419 604 48;
  • 62) 0,132 419 604 48 × 2 = 0 + 0,264 839 208 96;
  • 63) 0,264 839 208 96 × 2 = 0 + 0,529 678 417 92;
  • 64) 0,529 678 417 92 × 2 = 1 + 0,059 356 835 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 009 49(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 009 49(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 009 49(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001 =

0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001


Numărul zecimal -0,000 282 009 49 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0101 1000 1001 0110 0101 1110 1111 0001 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 008 88 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100