-0,000 282 009 94 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 009 94(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 009 94(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 009 94| = 0,000 282 009 94


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 009 94.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 009 94 × 2 = 0 + 0,000 564 019 88;
  • 2) 0,000 564 019 88 × 2 = 0 + 0,001 128 039 76;
  • 3) 0,001 128 039 76 × 2 = 0 + 0,002 256 079 52;
  • 4) 0,002 256 079 52 × 2 = 0 + 0,004 512 159 04;
  • 5) 0,004 512 159 04 × 2 = 0 + 0,009 024 318 08;
  • 6) 0,009 024 318 08 × 2 = 0 + 0,018 048 636 16;
  • 7) 0,018 048 636 16 × 2 = 0 + 0,036 097 272 32;
  • 8) 0,036 097 272 32 × 2 = 0 + 0,072 194 544 64;
  • 9) 0,072 194 544 64 × 2 = 0 + 0,144 389 089 28;
  • 10) 0,144 389 089 28 × 2 = 0 + 0,288 778 178 56;
  • 11) 0,288 778 178 56 × 2 = 0 + 0,577 556 357 12;
  • 12) 0,577 556 357 12 × 2 = 1 + 0,155 112 714 24;
  • 13) 0,155 112 714 24 × 2 = 0 + 0,310 225 428 48;
  • 14) 0,310 225 428 48 × 2 = 0 + 0,620 450 856 96;
  • 15) 0,620 450 856 96 × 2 = 1 + 0,240 901 713 92;
  • 16) 0,240 901 713 92 × 2 = 0 + 0,481 803 427 84;
  • 17) 0,481 803 427 84 × 2 = 0 + 0,963 606 855 68;
  • 18) 0,963 606 855 68 × 2 = 1 + 0,927 213 711 36;
  • 19) 0,927 213 711 36 × 2 = 1 + 0,854 427 422 72;
  • 20) 0,854 427 422 72 × 2 = 1 + 0,708 854 845 44;
  • 21) 0,708 854 845 44 × 2 = 1 + 0,417 709 690 88;
  • 22) 0,417 709 690 88 × 2 = 0 + 0,835 419 381 76;
  • 23) 0,835 419 381 76 × 2 = 1 + 0,670 838 763 52;
  • 24) 0,670 838 763 52 × 2 = 1 + 0,341 677 527 04;
  • 25) 0,341 677 527 04 × 2 = 0 + 0,683 355 054 08;
  • 26) 0,683 355 054 08 × 2 = 1 + 0,366 710 108 16;
  • 27) 0,366 710 108 16 × 2 = 0 + 0,733 420 216 32;
  • 28) 0,733 420 216 32 × 2 = 1 + 0,466 840 432 64;
  • 29) 0,466 840 432 64 × 2 = 0 + 0,933 680 865 28;
  • 30) 0,933 680 865 28 × 2 = 1 + 0,867 361 730 56;
  • 31) 0,867 361 730 56 × 2 = 1 + 0,734 723 461 12;
  • 32) 0,734 723 461 12 × 2 = 1 + 0,469 446 922 24;
  • 33) 0,469 446 922 24 × 2 = 0 + 0,938 893 844 48;
  • 34) 0,938 893 844 48 × 2 = 1 + 0,877 787 688 96;
  • 35) 0,877 787 688 96 × 2 = 1 + 0,755 575 377 92;
  • 36) 0,755 575 377 92 × 2 = 1 + 0,511 150 755 84;
  • 37) 0,511 150 755 84 × 2 = 1 + 0,022 301 511 68;
  • 38) 0,022 301 511 68 × 2 = 0 + 0,044 603 023 36;
  • 39) 0,044 603 023 36 × 2 = 0 + 0,089 206 046 72;
  • 40) 0,089 206 046 72 × 2 = 0 + 0,178 412 093 44;
  • 41) 0,178 412 093 44 × 2 = 0 + 0,356 824 186 88;
  • 42) 0,356 824 186 88 × 2 = 0 + 0,713 648 373 76;
  • 43) 0,713 648 373 76 × 2 = 1 + 0,427 296 747 52;
  • 44) 0,427 296 747 52 × 2 = 0 + 0,854 593 495 04;
  • 45) 0,854 593 495 04 × 2 = 1 + 0,709 186 990 08;
  • 46) 0,709 186 990 08 × 2 = 1 + 0,418 373 980 16;
  • 47) 0,418 373 980 16 × 2 = 0 + 0,836 747 960 32;
  • 48) 0,836 747 960 32 × 2 = 1 + 0,673 495 920 64;
  • 49) 0,673 495 920 64 × 2 = 1 + 0,346 991 841 28;
  • 50) 0,346 991 841 28 × 2 = 0 + 0,693 983 682 56;
  • 51) 0,693 983 682 56 × 2 = 1 + 0,387 967 365 12;
  • 52) 0,387 967 365 12 × 2 = 0 + 0,775 934 730 24;
  • 53) 0,775 934 730 24 × 2 = 1 + 0,551 869 460 48;
  • 54) 0,551 869 460 48 × 2 = 1 + 0,103 738 920 96;
  • 55) 0,103 738 920 96 × 2 = 0 + 0,207 477 841 92;
  • 56) 0,207 477 841 92 × 2 = 0 + 0,414 955 683 84;
  • 57) 0,414 955 683 84 × 2 = 0 + 0,829 911 367 68;
  • 58) 0,829 911 367 68 × 2 = 1 + 0,659 822 735 36;
  • 59) 0,659 822 735 36 × 2 = 1 + 0,319 645 470 72;
  • 60) 0,319 645 470 72 × 2 = 0 + 0,639 290 941 44;
  • 61) 0,639 290 941 44 × 2 = 1 + 0,278 581 882 88;
  • 62) 0,278 581 882 88 × 2 = 0 + 0,557 163 765 76;
  • 63) 0,557 163 765 76 × 2 = 1 + 0,114 327 531 52;
  • 64) 0,114 327 531 52 × 2 = 0 + 0,228 655 063 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 009 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 009 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 009 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010 =

0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010


Numărul zecimal -0,000 282 009 94 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0111 0111 1000 0010 1101 1010 1100 0110 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 010 13 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100